Question

11．如圖，BC為半⊙O的直徑，D是弧CA的中點，連接OD，交AC于點F．
（1）若∠DCH=∠ABD，求證：CH為⊙O的切線；
（2）求證：CA•BC=2BD•CD；
（3）連接OE，若AE=3，CD=$2\sqrt{5}$，求AB及OE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角定理得∠BAC=∠BDC=90°，再根據(jù)垂徑定理得OD⊥AC，根據(jù)圓周角定理得∠ABD=∠DBO，而∠DCH=∠ABD，則∠DBC=∠DCH，而∠DBC+∠BCD=90°，所以∠DCH+∠BCD=90°，于是得到OC⊥CH，所以根據(jù)切線的判定定理得到CH為⊙O的切線；
（2）由D是弧CA的中點，根據(jù)垂徑定理和圓周角定理得∠DCA=∠DBC，AF=CF，則Rt△CDF∽Rt△BCD，利用相似比即可得到即結論；
（3）設CF=x，則AF=x，EF=x-3，先證明Rt△CDF∽Rt△CED，利用相似比得到（2x-3）•x=（2$\sqrt{5}$）²，整理得2x²-3x-20=0，解得x₁=4，x₂=-$\frac{5}{2}$（舍去），則CF=4，EF=1，再根據(jù)勾股定理計算出DF=2，設圓的半徑為r，則OF=r-2，OC=r，然后在Rt△OCF中，由勾股定理得到（r-2）²+4²=r²，解得r=5，于是得到OF=3，則AB=2OF=6，再在Rt△OEF中，利用勾股定理計算OE．

解答 （1）證明：∵BC為半⊙O的直徑，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵D是弧CA的中點，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠ABD=∠DBO，
∵∠DCH=∠ABD，
∴∠DBC=∠DCH，
而∠DBC+∠BCD=90°，
∴∠DCH+∠BCD=90°，即∠BCH=90°，
∴OC⊥CH，
∴CH為⊙O的切線；
（2）證明：∵D是弧CA的中點，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，OD⊥AC，
∴∠DCA=∠DBC，AF=CF，
∴Rt△CDF∽Rt△BCD，
∴$\frac{CD}{BC}$=$\frac{CF}{BD}$，
而CF=$\frac{1}{2}$AC，
∴$\frac{1}{2}$AC•BC=BD•CD，
即CA•BC=2BD•CD；
（3）解：設CF=x，則AF=x，EF=x-3，
∵∠DCF=∠ECD，
∴Rt△CDF∽Rt△CED，
∴CD：CE=CF：CD，
∴CE•CF=CD²，即（2x-3）•x=（2$\sqrt{5}$）²，
整理得2x²-3x-20=0，
解得x₁=4，x₂=-$\frac{5}{2}$（舍去），
∴CF=4，EF=1，
在Rt△DCF中，DF=$\sqrt{C{D}^{2}-C{F}^{2}}$=2，
設圓的半徑為r，則OF=r-2，OC=r，
在Rt△OCF中，（r-2）²+4²=r²，解得r=5，
∴OF=5-2=3，
∴AB=2OF=6，
連結OE，如圖，
在Rt△OEF中，OE=$\sqrt{O{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．會運用勾股定理和相似比進行幾何計算．