Question

13．如圖，在矩形ABCD中，E、F為邊CD上的兩點(diǎn)，且DE=EF=FC，連結(jié)AE、BF，并延長(zhǎng)AE，BF相交于G
（1）求證：AE=BF；
（2）若EG=3，求線段AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)求出∠D=∠C=90°，AD=BC，根據(jù)全等三角形的判定推出△ADE≌△BCF即可；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AB∥CD，AB=CD，求出$\frac{EF}{AB}$=$\frac{1}{3}$，證△GEF∽△GAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，求出AG，即可得出答案．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠C=90°，AD=BC，
在△ADE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠D=∠C}\\{DE=FC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF；

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵DE=EF=FC，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∵AB∥CD，
∴△GEF∽△GAB，
∴$\frac{EG}{AG}$=$\frac{EF}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∵EG=3，
∴AG=9，
∴AE=9-3=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能推出△ADE≌△BCF和△GEF∽△GAB是解此題的關(guān)鍵，題目綜合性比較強(qiáng)，難度適中．