Question

12．如圖，四邊形ABCD為矩形，E為BC邊中點，連接AE，以AD為直徑的⊙O交AE于點F，連接CF．
（1）求證：CF與⊙O相切；
（2）若AD=2，F為AE的中點，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）利用平行四邊形的判定方法得出四邊形OAEC是平行四邊形，進而得出△ODC≌△OFC（SAS），求出OF⊥CF，進而得出答案；
（2）利用勾股定理得出DC的長，即可得出AB的長，

解答 （1）證明：如圖所示：連接OF、OC，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠ADC=90°，
∵E為BC邊中點，AO=DO，
∴AO=$\frac{1}{2}$AD，EC=$\frac{1}{2}$BC，
∴AO=EC，AO∥EC，
∴四邊形OAEC是平行四邊形，
∴AE∥OC，
∴∠DOC=∠OAF，∠FOC=∠OFA，
∵OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA，
∴∠DOC=∠FOC，
∵在△ODC和△OFC中
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OF}\\{∠DOC=∠FOC}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△ODC≌△OFC（SAS），
∴∠OFC=∠ODC=90°，
∴OF⊥CF，
∴CF與⊙O相切；

（2）解：如圖所示：連接DE，
∵AO=DO，AF=EF，AD=2，
∴DE=20F=2，
∵E是BC的中點，
∴EC=1，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：
DC=$\sqrt{D{E}^{2}-E{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AB=CD=$\sqrt{3}$．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及勾股定理和平行四邊形的判定、切線的判定等知識，得出△ODC≌△OFC是解題關鍵．