Question

1．如圖，Rt△ABC的∠A的平分線與過斜邊中點M的垂線交于點D，求證：MA=MD．

Answer 1

分析 設AD和BC交于O，由M是BC中點，可得AM=BM=CM，再根據(jù)已知條件可得∠MAD=∠CAD-∠MAC=45°-∠C=45°-（90°-∠B）=∠B-45°，因為DM⊥BC，所以∠MDA=90°-∠DOM=90°-∠BOA=∠B-45°，進而可證明∠MDA=∠MAD，所以MA=MD．

解答 證明：如圖所示：設AD和BC交于O，
∵M是BC中點，
∴AM=BM=CM，
∴∠MAC=∠C，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，
∴∠MAD=∠CAD-∠MAC=45°-∠C=45°-（90°-∠B）=∠B-45°，
∵DM⊥BC，
∴∠MDA=90°-∠DOM，
=90°-∠BOA，
=90°-（180°-∠B-∠BAD），
=90°-（180°-∠B-45°），
=∠B-45°，
∴∠MDA=∠MAD，
∴MA=MD．

點評 本題考查了角平分線的性質、直角三角形斜邊上的中線的性質以及等腰三角形的判定和性質，題目的綜合性較強，難度中等，解題的關鍵是證明∠MDA=∠MAD，進而可得MA=MD．