Question

18．如圖，Rt△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=3，BC=4，點(diǎn)D為$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，連結(jié)AD與BC相交于點(diǎn)E，則DE：AE等于（　�。�

• A． 3：4
• B． 1：3
• C． 2：3
• D． 2：5

Answer 1

分析 根據(jù)垂徑定理得到OD⊥BC，CM=$\frac{1}{2}$BC=2，推出△ABE∽△DME，得到比例式，代入數(shù)值即可得到結(jié)果．

解答 解：連接OD交BC于M，
∵點(diǎn)D為$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，
∴OD⊥BC，CM=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴∠DME=∠B=90°，
∵∠AEB=∠DEM，
∴△ABE∽△DME，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{AB}{DM}$，
∵Rt△ABC內(nèi)接于⊙O，
∴AC是⊙O的直徑．
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴OC=OD=$\frac{5}{2}$，
∴（OD-DM）²+CM²=OC²，
即（$\frac{5}{2}$-DM）²+2²=（$\frac{5}{2}$）²，
∴DM=1，DM=4（不合題意舍去），
∴DE：AE=DM：AB=1：3．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．