Question

20．（1）如圖（1）所示，已知在△ABC中，O為∠ABC和∠ACB的平分線BO，CO的交點(diǎn)．試猜想∠BOC和∠A的關(guān)系，并說明理由．
（2）如圖（2）所示，若O為∠ABC的平分線BO和∠ACE的平分線CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A的關(guān)系又該怎樣？為什么？

Answer 1

分析 （1）先列出∠A、∠ABC、∠ACB的關(guān)系，再列出∠BOC、∠OBC、∠OCB的關(guān)系，然后列出∠ABC和∠OBC、∠ACB和∠OCB的關(guān)系，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）列出∠A、∠ABC、∠ACE的關(guān)系，再列出∠OBC、∠O、∠OCE的關(guān)系，然后列出∠ABC和∠OBC、∠ACE和∠OCE的關(guān)系，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答 解：（1）∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A+90°．
理由如下：
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
又∵BO，CO分別是∠ABC，∠ACB的平分線，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB．
∴∠BOC+$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=180°．
∴∠BOC=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=90°+$\frac{1}{2}$∠A．
（2）∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A．
理由如下：
∵∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE，
∴∠A=∠ACE-∠ABC，∠BOC=∠OCE-∠OBC
又∵BO，CO分別是∠ABC和∠ACE的平分線，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE．
∴∠BOC=∠OCE-∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ACE-$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$（∠ACE-∠ABC）
=$\frac{1}{2}$∠A．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理，熟記三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵，讀懂題目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．