Question

17．如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，延長AC到D，使CD=BC，點P是△ABD的內(nèi)心，則∠BPC=（　�。�

• A． 105°
• B． 110°
• C． 130°
• D． 145°

Answer 1

分析 連接PD，如圖，連接AP并延長交BC于E，先利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算出∠ABC=∠ACB=70°，再利用等腰三角形性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可計算出∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ACB=35°，則∠ABD=105°，利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)得AP平分∠BAC，BP平分∠ABD，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可判定AE垂直平分BC，利用角平分線的定義計算出∠PBD=$\frac{1}{2}$∠ABD=52.5°，則∠PBC=22.5°，然后利用PB=PC得到∠PBC=∠PCB=22.5°，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和計算∠BPC的度數(shù)．

解答 解：連接PD，如圖，連接AP并延長交BC于E，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=$\frac{1}{2}$（180°-40°）=70°，
∵CD=CB，
∴∠D=∠CBD，
而∠ACB=∠D+∠CBD，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ACB=35°，
∴∠ABD=35°+70°=105°，
∵點P是△ABD的內(nèi)心，
∴AP平分∠BAC，BP平分∠ABD，
∴AE垂直平分BC，∠PBD=$\frac{1}{2}$∠ABD=52.5°，
∴∠PBC=52.5°-35°=22.5°，
∵PE垂直平分BC，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB=22.5°，
∴∠BPC=180°-22.5°-22.5°=145°．
故選D．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點的連線平分這個內(nèi)角．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．