Question

9．如圖（1），直線y=-x+3分別與y軸、x軸交于A、C兩點，以O(shè)A、OC為邊作正方形OABC，E是邊OC上一點，將直線AE繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)45°與過E點垂直于AE的直線交于點D．
（1）求A、B、C三點的坐標(biāo)；
（2）若直線AD的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3，求直線DE的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線y=-x+3，令x=0，令y=0，分別求得x、y的值即可求得A、B、C的坐標(biāo)；
（2）過D點作DM⊥x軸于點M，先通過三角形全等求得EM=AO=3，DM=OE，設(shè)E（m，0），則OM=OE+EM=m+3，DM=OE=m，把D（m+3，m）代入直線AD的解析式，求得m的值，從而得出D、E的坐標(biāo)，最后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得．

解答 解：（1）∵直線y=-x+3分別與y軸、x軸交于A、C兩點，
令y=0，則0=-x+3，解得x=3，
∴C（3，0），
令x=0，則y=3，
∴A（0，3）；
∴B（3，3）；
（2）如圖，過D點作DM⊥x軸于點M，

∵∠EAD=45°，AE⊥ED，
∴AE=ED，∠AEO+∠DEM=90°，
∵∠OAE+∠AEO=90°，
∴∠OAE=∠DEM，
在△AOE與△EMD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠EMD=90°}\\{∠OAE=∠DEM}\\{AE=ED}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△EMD（AAS），
∴EM=AO=3，DM=OE，
設(shè)E（m，0），
∴OM=OE+EM=m+3，DM=OE=m，
∴D（m+3，m），
代入直線AD的解析式y(tǒng)=-$\frac{1}{2}$x+3，得m=-$\frac{1}{2}$（m+3）+3，
解得m=1，
∴D（4，1），E（1，0），
設(shè)直線DE的解析式為：y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=1}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線DE的解析式為：y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了直線的交點坐標(biāo)，待定系數(shù)法求解析式，三角形全等的判定及性質(zhì)等；本題的關(guān)鍵是根據(jù)待定系數(shù)法得出解析式．