Question

11．如圖，D為AC上一點(diǎn)，E為AD一點(diǎn)，且AD=AB，∠EBD=∠DBC．求證：
（1）△ABE∽△ACB；
（2）AD²=AE•AC．

Answer 1

分析 （1）由AB=AD，得到∠1+∠5=∠4，根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠3=∠1+∠4，于是得到∠3=∠1+∠1+∠5=∠2+∠1+∠5，推出∠3=∠ABC，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AB}$，于是得到AB²=AC•AE，等量代換即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵∠EBD=∠DBC，
∴∠1=∠2，
∵AB=AD，
∴∠1+∠5=∠4，
∵∠3=∠1+∠4，
∴∠3=∠1+∠1+∠5=∠2+∠1+∠5，
即∠3=∠ABC，
∵∠A=∠A，
∴△ABE∽△ACB；

（2）∵△ABE∽△ACB，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
∴AB²=AC•AE，
∵AB=AD，
∴AD²=AE•AC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．