Question

6．如圖，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，且OA=OB，P為動(dòng)點(diǎn)，且PA⊥PB．
（1）如圖①，P在第一象限時(shí)，求∠OPA的度數(shù)；
（2）如圖②，P在第四象限時(shí)，求∠OPA的度數(shù)；
（3）在（2）的條件下，如圖③，過O作OE⊥BP于E，判斷線段BP、AP、EO之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論并證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)∠BOA=90°，∠APB=90°，可得O、B、P、A四點(diǎn)共圓，從而轉(zhuǎn)換為求∠OBA 的度數(shù)；
（2）判斷O、B、P、A四點(diǎn)共圓，根據(jù)“對(duì)角互補(bǔ)”，可得∠OPA的度數(shù)；
（3）BP=AP+2EO，在BP上取點(diǎn)F使EF=EP，連接OF，證明△AOP≌△BOF即可．

解答 解：（1）如圖①，
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OBA=45°，
∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
∵∠AOB+∠APB=180°，
∴O、B、P、A四點(diǎn)共圓，
∴∠OPA=∠OBA=45°；
（2）如圖②，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，連接PD，
∵∠BOA=90°，BP⊥AP，
∴OD=BD=AD，
∴點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴OD=DA=DB=PD，
∴O、B、P、A四點(diǎn)共圓，
∵∠OBA=45°，
∴∠OPA=135°．
（3）BP=AP+2EO，
證明：如圖③，在BP上取點(diǎn)F使EF=EP，連接OF，
∵∠OPA=135°，
∴∠OPE=45°，
∵OE⊥BP，
∴OE=EP=EF，OF=OP，
∴∠FOP=90°，
∴∠AOP+∠FOA=∠BOP+∠FOA=90°，
∴∠AOP=∠BOP，
在△AOP和△BOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OA}\\{∠AOP=∠BOP}\\{OF=0P}\end{array}\right.$
∵△AOP≌△BOF，
∴BF=AP，
∴2EO+AP=FP+BF=BP，
即BP=AP+2EO．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．