Question

4．如圖，A（0，2），B（1，0），點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，將線段BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)D．
（1）若該拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，且a=-$\frac{1}{3}$，求該拋物線的解析式；
（2）在（1）的條件下，點(diǎn)P（m，n）在拋物線上，且∠POB銳角，滿足∠POB+∠BCD＜90°，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)D作DF⊥x軸，垂足為F．先證明△AOB≌△BFD，于是可得到D（3，1），將a=-$\frac{1}{3}$以及點(diǎn)D和點(diǎn)O的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求解即可；
（2）先證明CD∥x軸，依據(jù)題意可知：當(dāng)∠POB=∠BAO時(shí)，恰好∠POB+∠BCD=90°，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{4}{3}$m），由∠POB=∠BAO，可得到tan∠POB=$\frac{1}{2}$，據(jù)此可得到關(guān)于m的方程，從而可求得m的值，最后依據(jù)圖形可得到當(dāng)∠POB+∠BCD＜90°時(shí)，m的取值范圍．

解答 解：（1）過點(diǎn)D作DF⊥x軸，垂足為F．

∵∠ABD=90°，
∴∠DBF+∠ABO=90°．
又∵∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠DBF=∠OAB．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AB=BD．
在△AOB和△BFD中$\left\{\begin{array}{l}{∠DBF=∠OAB}\\{∠AOB=∠BFD}\\{AB=BD}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BFD．
∴DF=OB=1，AO=BF=2．
∴D（3，1）．
把點(diǎn)D和點(diǎn)O的坐標(biāo)代入y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{-1+3b+c=0}\\{c=0}\end{array}\right.$，解得：b=$\frac{4}{3}$，c=0．
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x．

（2）如圖2所示：

∵點(diǎn)A（0，2），B（1，0），C為線段AB的中點(diǎn)，
∴C（$\frac{1}{2}$，1）．
∵C、D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，
∴CD∥x軸．
∴∠BCD=∠ABD．
∴當(dāng)∠POB=∠BAO時(shí)，恰好∠POB+∠BCD=90°．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{4}{3}$m）．
當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且∠POB=∠BAO時(shí)，則tan∠POB=tan∠BAO=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{-\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{4}{3}m}{m}$=$\frac{1}{2}$，解得：m=$\frac{5}{2}$或m=0（舍去）．
當(dāng)點(diǎn)P位于x軸的下方，點(diǎn)P′處時(shí)，且∠POB=∠BAO時(shí)，則tan∠POB=tan∠BAO=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{\frac{1}{3}{m}^{2}-\frac{4}{3}m}{m}$=$\frac{1}{2}$，解得：m=$\frac{11}{2}$或m=0（舍去）．
∵∠POB為銳角，
∴m≠4．
由圖形可知：當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上P與P′之間移動(dòng)時(shí)，∠POB+∠BCD＜90°．
∴m的取值范圍是：$\frac{5}{2}$＜m＜$\frac{11}{2}$且m≠4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、全等三角形的性質(zhì)和判定、銳角三角函數(shù)的定義，求得∠POB+∠BCD=90°時(shí)，m的值，然后依據(jù)圖形確定出m的范圍是解題的關(guān)鍵．