Question

9．如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，連接AE，BF，交點為G．若正方形的邊長為2．
（1）求證：AE⊥BF；
（2）將△BCF沿BF對折，得到△BPF（如圖2），延長FP交BA的延長線于點Q，求AQ的長；
（3）將△ABE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AB正好落在AE上，得到△AHM（如圖3），若AM和BF相交于點N，求四邊形MNGH的面積．

Answer 1

分析 （1）運用Rt△ABE≌Rt△BCF，再利用角的關系求得∠BGE=90°求證；
（2）△BCF沿BF對折，得到△BPF，利用角的關系證明QF=QB，在Rt△QPB中，利用勾股定理即可解決問題．
（3）先求出正方形的邊長，再根據(jù)面積比等于相似邊長比的平方，求得S_△AGN=$\frac{4}{5}$，再利用S_{四邊形GHMN}=S_△AHM-S_△AGN求解．

解答 （1）證明：如圖1，

∵E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點，
∴CF=BE，
在Rt△ABE和Rt△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠BCF}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∠BAE=∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BGE=90°，
∴AE⊥BF．

（2）解：如圖2，根據(jù)題意得，

FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴∠ABF=∠PFB，
∴QF=QB，
∵PF=FC=1，PB=BC=2，
在Rt△BPQ中，設QB=x，
∴x²=（x-1）²+2²，
∴x=$\frac{5}{2}$，
∴AQ=BQ-AB=$\frac{5}{2}$-2=$\frac{1}{2}$．

（3）解：∵正方形ABCD的面積為4，
∴邊長為2，
∵∠BAE=∠EAM，AE⊥BF，
∴AN=AB=2，
∵∠AHM=90°，
∴GN∥HM，
∴$\frac{{S}_{△AGN}}{{S}_{△AHM}}$=（$\frac{AN}{AM}$ ）²，
∴$\frac{{S}_{△AGN}}{1}$=（ $\frac{2}{\sqrt{5}}$）²，
∴S_△AGN=$\frac{4}{5}$，
∴S_{四邊形GHMN}=S_△AHM-S_△AGN=1-$\frac{4}{5}$=$\frac{1}{5}$，
∴四邊形GHMN的面積是 $\frac{1}{5}$．

點評 本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換、翻折變換、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟知旋轉(zhuǎn)、翻折不變性是解答此題的關鍵，學會構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．