Question

12．綜合與探究
如圖（1），線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-12，4），（0，10），點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸的反方向以相同的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，△OPQ的面積S（平方單位）與時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)圖象如圖（2）所示．
（1）求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度；
（2）求面積S與t的函數(shù)關(guān)系式及當(dāng)S取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P時(shí)S取最大值時(shí)的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M為x軸上的點(diǎn)，點(diǎn)N為坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)，以點(diǎn)O，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)速度=$\frac{路程}{時(shí)間}$，計(jì)算即可；
（2）由Rt△ADB∽R(shí)t△PCB，可得$\frac{PC}{AD}$=$\frac{BP}{BA}$=$\frac{BC}{BD}$，推出$\frac{PC}{12}$=$\frac{\sqrt{5}t}{6\sqrt{5}}$=$\frac{BC}{6}$，可得PC=2t，BC=t，推出OC=10-t，推出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2t，10-t），OQ=$\sqrt{5}$t，推出S=$\frac{1}{2}$•OQ•PE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$t•（10-t），利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；
（3）分兩種情形討論求解；

解答 解：（1）作PC⊥OB于C，AD⊥OB于D，PE⊥OQ于E．
∵A（-12，4），B（0，10），
∴AD=12，OD=4，0B=10，
∴BD=6，
在Rt△ADB中，AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{5}$，
由圖象可知，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為6秒，
∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為6$\sqrt{5}$÷6=$\sqrt{5}$（長(zhǎng)度單位/秒）．

（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒，則BP=OQ=$\sqrt{5}$t，
∵∠PBC=∠ABD，∠ADB=∠PCB=90°，
∴Rt△ADB∽R(shí)t△PCB，
∴$\frac{PC}{AD}$=$\frac{BP}{BA}$=$\frac{BC}{BD}$，
∴$\frac{PC}{12}$=$\frac{\sqrt{5}t}{6\sqrt{5}}$=$\frac{BC}{6}$，
∴PC=2t，BC=t，
∴OC=10-t，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2t，10-t），OQ=$\sqrt{5}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$•OQ•PE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$t•（10-t），
∴S=-$\frac{\sqrt{5}}{2}$t²+5$\sqrt{5}$t=-$\frac{\sqrt{5}}{2}$（t-5）²+$\frac{25\sqrt{5}}{2}$（0≤t≤6），
∵-$\frac{\sqrt{5}}{2}$＜0，
∴當(dāng)t=5時(shí)，S取得最大值，
此時(shí)-2t=-10，10-t=10-5=5，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-10，5），
綜上所述，△OPQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=-$\frac{\sqrt{5}}{2}$t²+5$\sqrt{5}$t（0≤t≤6），
當(dāng)面積最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-10，5）．

（3）如圖，

①當(dāng)PM₁⊥x軸，PN₁⊥y軸時(shí)，四邊形PM₁ON₁是矩形，此時(shí)N₁（0，5）．
②當(dāng)PM₂⊥OP時(shí)，可得四邊形PM₂N₂O是矩形，
∵直線OP的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x，
∴直線PM₂的解析式為y=2x+25，可得M₂（-12.5，0），設(shè)N₂（m，n），
則有$\frac{-10+m}{2}$=$\frac{-12.5+0}{2}$，$\frac{5+n}{2}$=0，
∴m=-$\frac{5}{2}$，n=-5，
∴N₂（-$\frac{5}{2}$，-5），
綜上所述，滿足條件是點(diǎn)N₁（0，5），N₂（-$\frac{5}{2}$，-5）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．