Question

18．如圖，在矩形ABCD中，BC=5，AB=3，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)D的兩個(gè)動(dòng)圓均與AC相切，且與AB、BC、AD、DC分別交于點(diǎn)G、H、E、F，則EF+GH的最小值是$\frac{15\sqrt{34}}{17}$．

Answer 1

分析 如圖，設(shè)GH的中點(diǎn)為O，過(guò)O點(diǎn)作OM⊥AC，過(guò)B點(diǎn)作BN⊥AC，垂足分別為M、N，根據(jù)∠B=90°可知，點(diǎn)O為過(guò)B點(diǎn)的圓的圓心，OM為⊙O的半徑，BO+OM為直徑，可知BO+OM≥BN，故當(dāng)BN為直徑時(shí)，直徑的值最小，即直徑GH也最小，同理可得EF的最小值．

解答 解：如圖，設(shè)GH的中點(diǎn)為O，
過(guò)O點(diǎn)作OM⊥AC，過(guò)B點(diǎn)作BN⊥AC，垂足分別為M、N，
在Rt△ABC中，BC=5，AB=3，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
由面積法可知，BN•AC=AB•BC，
解得BN=$\frac{15}{\sqrt{34}}$，
∵∠B=90°，
∴GH為⊙O的直徑，點(diǎn)O為過(guò)B點(diǎn)的圓的圓心，
∵⊙O與AC相切，
∴OM為⊙O的半徑，
∴BO+OM為直徑，
又∵BO+OM≥BN，
∴當(dāng)BN為直徑時(shí)，直徑的值最小，
此時(shí)，直徑GH=BN=$\frac{15}{\sqrt{34}}$，
同理可得：EF的最小值為$\frac{15}{\sqrt{34}}$，
∴EF+GH的最小值是$\frac{30\sqrt{34}}{34}$=$\frac{15\sqrt{34}}{17}$．
故答案為：$\frac{15\sqrt{34}}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，垂線的性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用．關(guān)鍵是明確EF、GH為兩圓的直徑，根據(jù)題意確定直徑的最小值．