Question

6．如圖所示，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是CD的中點(diǎn)，連接OE，過(guò)點(diǎn)C作CF∥BD交線段OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接DF．求證：
（1）OD=CF；
（2）四邊形ODFC是菱形．

Answer 1

分析 （1）欲證明OD=CF，只要證明△ODE≌△FCE（ASA）即可．
（2）首先證明四邊形ODFC是平行四邊形，再由OD=OC即可推出四邊形ODFC是菱形．

解答 證明：（1）∵CF∥BD，
∴∠DOE=∠CFE，
∵E是CD的中點(diǎn)，
∴CE=DE
在△ODE和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}∠DOE=∠CFE\\ CE=DE\\∠DEO=∠CEF\end{array}\right.$，
∴△ODE≌△FCE（ASA）
∴OD=CF．

（2）由（1）知OD=CF，
∵CF∥BD，
∴四邊形ODFC是平行四邊形
在矩形ABCD中，OC=OD，
∴四邊形ODFC是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，記住矩形、菱形的判定方法，屬于中考�？碱}型．