Question

15．如圖，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，BC=16，P、Q分別在邊BC、AB上，且BP=BQ，連接PQ并延長與CA的延長線交于點(diǎn)R．
（1）求△ABC的面積；
（2）設(shè)BP=x，QR=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出它的定義域；
（3）連結(jié)CQ，△AQR與△QBC是否有可能相似？如果不可能，說明理由；如果可能，求出此時BP的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1，過A作AM⊥BC交BC于M，根據(jù)三角函數(shù)求得AM=5$\sqrt{3}$，于是得到S_△ABC=$\frac{1}{2}×BC×AM$=$\frac{1}{2}×16×5\sqrt{3}$=40$\sqrt{3}$；
（2）如圖2，過Q作QD∥BC交AC于D，根據(jù)相似三角形的判定定理得到△AQD∽△ABC，得到比例式$\frac{QD}{BC}=\frac{AQ}{AB}$，求得DQ=$\frac{AQ•BC}{AB}$=$\frac{（10-x）×16}{10}$=16-1.6x，通過△RQD∽△RPC，得到比例式$\frac{QR}{RP}$=$\frac{QD}{PC}$代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)對頂角相等得到∠AQR=∠QBC=60°，如果△AQR與△QBC，則有$\frac{AQ}{BQ}=\frac{QR}{BC}$，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，過A作AM⊥BC交BC于M，
∵AB=10，∠B=60°，∴AM=5$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×BC×AM$=$\frac{1}{2}×16×5\sqrt{3}$=40$\sqrt{3}$；

（2）∵∠B=60°，
∴△BPQ是等邊三角形，
如圖2，過Q作QD∥BC交AC于D，
∴△AQD∽△ABC，
∴$\frac{QD}{BC}=\frac{AQ}{AB}$，
∴DQ=$\frac{AQ•BC}{AB}$=$\frac{（10-x）×16}{10}$=16-1.6x，
∴△RQD∽△RPC，
∴$\frac{QR}{RP}$=$\frac{QD}{PC}$
∴$\frac{y}{y+x}$=$\frac{16-1.6x}{（16-x）y}$=$\frac{16-1.6x}{0.6y}$，
∴y=-$\frac{8}{3}$x+$\frac{80}{3}$（0＜x＜10）；

（3）∵∠AQR=∠QBC=60°，
如果△AQR與△QBC，
則$\frac{AQ}{BQ}=\frac{QR}{BC}$，
∴$\frac{10-x}{x}=\frac{y}{16}$，
即$\frac{10-x}{x}$=$\frac{-\frac{8}{3}x+\frac{80}{3}}{16}$，
解得：x=6，或x=10（不合題意舍去），
∴當(dāng)BP=6時，△AQR與△QBC相似．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，求函數(shù)的解析式，等邊三角形的性質(zhì)，求三角形的面積，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．