Question

7．菱形ABCD中，∠B=60°，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD邊上的點(diǎn)，連接AE、EF、AF．
（1）如圖1，若點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD邊上的中點(diǎn)．則△AEF是等邊三角形；
（2）如圖2，若∠EAF=60°，求證：△AEF是等邊三角形；
（3）如圖3，若∠AEF=60°，（2）中的結(jié)論是否成立？如果成立．請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定方法得，△ABC是等邊三角形．則AE⊥B，∠EAC=30°，同理∠CAF=30°，∠EAF=60°，再證明△ABE≌△ADF，得到AE=AF，則△AEF是等邊三角形．
（2）連結(jié)AC，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得AB=BC，而∠B=60°，則可判定△ABC為等邊三角形，得到∠2=60°，∠1+∠4=60°，AC=AB，易得∠ACF=60°，∠1=∠3，然后利用“ASA”可證明△AEB≌△AFC，于是得到AE=AF，即可解答；
（3）成立，作EG∥AB于G，則∠GEC=∠B=60°，先證明△ABC是等邊三角形，∠BCF=120°，得出∠ACB=60°，再證明△GEC是等邊三角形，得出EG=EC，∠EGC=60°，得出∠EAG=120°，證出∠1=∠2，由ASA證明△AEG≌△FEC，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可，即可得到三角形AEF為等邊三角形．

解答 解：（1）如圖1，連接AC，

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠B=∠D，
∵∠B=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴AC=AB=AD=CD，
∴∠CAD=60°，
∴∠BAD=120°，
∵E為BC的中點(diǎn)，
∴AE⊥BC，∠EAC=30°，
同理：∠CAF=30°
∴∠EAF=60°，
∵點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD邊上的中點(diǎn)，BC=DC，
∴BE=DF，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠D}\\{BE=CF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等邊三角形．
故答案為：等邊．
（2）連結(jié)AC，如圖2，

∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠2=60°，∠1+∠4=60°，AC=AB，
∴∠ACF=60°，
∵∠EAF=60°，即∠3+∠4=60°，
∴∠1=∠3，
在△AEB和△AFC中，
 $\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{AB=AC}\\{∠B=∠ACD}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AFC，
∴AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴△AEF為等邊三角形．
（3）成立，
連接AC，作EG∥AB交AC于點(diǎn)G，如圖3所示：

則∠GEC=∠B=60°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，∠D=∠B=60°，∠ACB=∠ACD，
∴△ABC是等邊三角形，∠BCF=120°，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACB=∠GEC=60°，
∴△GEC是等邊三角形，
∴EG=EC，∠EGC=60°，
∴∠EAG=120°，
∵∠AEF=60°=∠GEC，
∴∠1=∠2，
在△AEG和△FEC中，
 $\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{EG=EC}\\{∠EGA=∠ECF=12{0}^{°}}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△FEC（ASA），
∴AE=EF，
∵∠AEF=60°，
∴△AEF為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明三角形全等和等邊三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．