Question

11．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)．已知OABC是矩形，點(diǎn)A、C分別位于x軸、y軸的正半軸上，已知B（2，4），D在線段AB上，且3AD=BD，在y軸上存在E、F兩點(diǎn)，且EF=1，連接B、D、E、F，當(dāng)組成的四邊形周長(zhǎng)最小時(shí)，求此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 先作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B'E，BE，則B'E=BE，在DB上截取DD'=EF=1，連接ED'，則四邊形EFDD'是平行四邊形，故DF=D'E，根據(jù)EF和BD的長(zhǎng)不變，可得當(dāng)DF+BE最短時(shí)，四邊形DFEB的周長(zhǎng)最小，即當(dāng)D'E+B'E最短時(shí)，四邊形DFEB的周長(zhǎng)最小，因此當(dāng)點(diǎn)B'，E，D'三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，D'E+B'E最短，最后求得直線B'D'的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3，進(jìn)而得到E點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：如圖所示，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B'E，BE，則B'E=BE，
在DB上截取DD'=EF=1，連接ED'，則四邊形EFDD'是平行四邊形，故DF=D'E，
∵EF和BD的長(zhǎng)不變，
∴當(dāng)DF+BE最短時(shí)，四邊形DFEB的周長(zhǎng)最小，
即當(dāng)D'E+B'E最短時(shí)，四邊形DFEB的周長(zhǎng)最小，
∴當(dāng)點(diǎn)B'，E，D'三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，D'E+B'E最短，
∵B（2，4），3AD=BD，
∴B'（-2，4），D（2，1），D'（2，2），
設(shè)直線B'D'的解析式為y=kx+b，則
$\left\{\begin{array}{l}{4=-2k+b}\\{2=2k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線B'D'的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3，
令x=0，則y=3，
故E（0，3），F(xiàn)（0，2）；
若點(diǎn)E、點(diǎn)F的位置交換，則E（0，2），F(xiàn)（0，3）；
綜上所述，E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）或（0，2）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查最短路線問(wèn)題，矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，解決此類問(wèn)題一般都是運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)，將求折線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求線段問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造平行四邊形，找到點(diǎn)E、F的位置，利用一次函數(shù)解決交點(diǎn)坐標(biāo)．