Question

4．如圖，在矩形OABC紙片中，OA=7，OC=5，D為BC邊上動點，將△OCD沿OD折疊，當(dāng)點C的對應(yīng)點落在直線l：y=-x+7上時，記為點E，F(xiàn)，當(dāng)點C的對應(yīng)點落在邊OA上時，記為點G．
（1）求點E、F的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過E、F、G三點的拋物線的解析式；
（3）當(dāng)點C的對應(yīng)點落在直線l上時，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）可以設(shè)點E的坐標(biāo)為（x，-x+7），由OE=OC=5可得$\sqrt{{x}^{2}+（-x+7）^{2}}$=5，解方程即可解決問題．
（2）求出點G坐標(biāo)，設(shè)經(jīng)過E、F、G三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，把E、F、G三點坐標(biāo)代入，轉(zhuǎn)化為解方程組即可．
（3）設(shè)點D的坐標(biāo)為（m，5）（m＞0），則CD=m，由ED=CD或FD=CD，可得$\sqrt{（3-m）^{2}+（4-5）^{2}}$=m，或$\sqrt{（4-m）^{2}+（3-5）^{2}}$=m，解方程即可．

解答 解：（1）∵點E在直線y=-x+7上，
∴可以設(shè)點E的坐標(biāo)為（x，-x+7），
∵OE=OC=5，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（-x+7）^{2}}$=5，
解得x=3或4，
∴點E的坐標(biāo)為（3，4），點F的坐標(biāo)為（4，3）．

（2）∵OG=OC=5，且點G在x坐標(biāo)軸上，
∴G（5，0），
設(shè)經(jīng)過E、F、G三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
則有$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=4}\\{16a+4b+c=3}\\{25a+5b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=6}\\{c=-5}\end{array}\right.$，
∴經(jīng)過E、F、G三點的拋物線的解析式為y=-x²+6x-5．

（3）∵BC∥x軸，且OC=5，
∴設(shè)點D的坐標(biāo)為（m，5）（m＞0），則CD=m，
∵ED=CD或FD=CD，
∴$\sqrt{（3-m）^{2}+（4-5）^{2}}$=m，或$\sqrt{（4-m）^{2}+（3-5）^{2}}$=m，
解得m=$\frac{5}{3}$或$\frac{5}{2}$，
∴當(dāng)點C的對應(yīng)點落在直線l上時，CD的長為$\frac{5}{3}$或$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、矩形的性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、兩點間距離公式、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用方程的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．