Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn)，∠CAB=45°，AC=2$\sqrt{2}$，∠ACB=60°，點(diǎn)B在x軸正半軸，點(diǎn)C在第一象限，動(dòng)點(diǎn)D在邊AB上運(yùn)動(dòng)，以CD為直徑作⊙O與AC，AB分別交于E，F(xiàn)，連接EF．
（1）當(dāng)△CEF成為等邊三角形時(shí)，AE：EC=1：$\sqrt{3}$；
（2）當(dāng)EF=$\frac{\sqrt{201}}{8}$時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{8±\sqrt{3}}{4}$，0）．

Answer 1

分析 （1）連接ED可知，∠CED=90°，又因?yàn)椤鰿EF是等邊三角形，所以∠CEF=60°，由圓周角定理可知∠ACD=30°，由銳角三角函數(shù)可知所以$AE：EC=1：\sqrt{3}$；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OG⊥EF于點(diǎn)G，由垂徑定理可求得OF，即可以求出直徑CD的長(zhǎng)度，然后設(shè)AE=x，利用勾股定理，即可求出AE的長(zhǎng)度，而AD=$\sqrt{2}$AE．

解答 （1）連接DE，
∵CD是⊙O直徑，
∴∠CED=90°，
∵∠CAB=45°，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴AE=ED，
∵△CEF是等邊三角形，
∴∠CEF=60°，
∴∠DEF=90°-60°=30°，
∵$\widehat{DF}=\widehat{DF}$，
∴∠DCF=∠DEF=30°，
∵∠ACB=60°，
∴∠DCE=30°，
∴tan∠DCE=$\frac{ED}{CE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$AE：EC=1：\sqrt{3}$；

（2）連接ED、OF，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥EF于點(diǎn)G，
∵∠ACB=60°
∴由圓周角定理可知：∠GOF=60°，
∵EF=$\frac{\sqrt{201}}{8}$，
∴由垂徑定理可求得：FG=$\frac{\sqrt{201}}{16}$，
∴sin∠GOF=$\frac{FG}{OF}$，
∴OF=$\frac{\sqrt{67}}{8}$，
∴CD=$\frac{\sqrt{67}}{4}$，
設(shè)AE=x，
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠CED=90°，
∵∠CAB=45°，
∴AE=ED=x，
∴CE=2$\sqrt{2}$-x，
∴由勾股定理可知：ED²+CE²=CD²，
∴x²+（2$\sqrt{2}$-x）²=$\frac{67}{16}$，
∴x=$\frac{8\sqrt{2}±\sqrt{6}}{8}$
∵x＞0，
∴x=$\frac{8\sqrt{2}±\sqrt{6}}{8}$，
∴AD=$\sqrt{2}$x=$\frac{8±\sqrt{3}}{4}$
∴D的坐標(biāo)為（$\frac{8±\sqrt{3}}{4}$，0）
故答案為：（$\frac{8±\sqrt{3}}{4}$，0）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合問(wèn)題，涉及垂徑定理，勾股定理，圓周角定理等知識(shí)，解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識(shí)貫穿起來(lái)．