Question

13．如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線BD上有一點O，以O(shè)為圓心，OD長為半徑的圓記為⊙O．
（1）當(dāng)⊙O經(jīng)過點A時，用尺規(guī)作圖作出⊙O；此時，點C在⊙O上嗎？為什么？
（2）當(dāng)⊙O與AB相切于點A時，
①求證：BC與⊙O相切；
②若OB=1，⊙O的面積=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 （1）如圖1，作AD的垂直平分線MN交BD于O，以O(shè)為圓心，OD為半徑作⊙O，則⊙O即為所求，由菱形的性質(zhì)得到邊角的關(guān)系，通過三角形全等得到結(jié)論．
（2）①由三角形全等得到對應(yīng)角相等，證得垂直得到BC與⊙O相切；
②解直角三角形得到半徑的長度，由圓的面積公式求得．

解答 解：如圖1（1）作AD的垂直平分線MN 交BD于O，以O(shè)為圓心，OD為半徑作⊙O，
則⊙O即為所求；
點C 在圓上，
理由如下；
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=DA，∠CDB=∠ADB，
在△CDO與△ADO中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=AD}\\{∠CDO=ADO}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△CDO≌△ADO，
∴OC=OA，
∴點C在⊙O上；

（2）①當(dāng)⊙O與AB相切于點A時，
∠OAB=90°，
在△ABO與△BCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABO=∠BCO}\\{OB=OB}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BCO，
∴∠BCO=∠BAO=90°，
∴BC⊥OC，
∴BC與⊙O相切；
②∵∠CDA=∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠ABC=60°，
∴∠CBO=30°，
∵OB=1，
∴OC=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$，
∴⊙O的面積=${（\frac{1}{2}）}^{2}$•π=$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，圓面積的求法，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．