Question

18．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0
（1）判斷方程根的情況；
（2）若方程的兩根x₁、x₂滿足（x₁-1）（x₂-1）=5，求k值；
（3）若△ABC的兩邊AB、AC的長是方程的兩根，第三邊BC的長為5，
①則k為何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形？
②k為何值時，△ABC是等腰三角形，并求出△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式即可得出△=1＞0，由此即可得出方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進行解答；
（3）利用分解因式法可求出x₁=k+1，x₂=k+2．①不妨設(shè)AB=k+1，AC=k+2，根據(jù)BC=5利用勾股定理即可得出關(guān)于k的一元二次方程，解方程即可得出k的值；②根據(jù)（1）結(jié)論可得出AB≠AC，由此可找出△ABC是等腰三角形分兩種情況，分AB=BC、AC=BC兩種情況考慮，根據(jù)兩邊相等找出關(guān)于k的一元一次方程，解方程求出k值，進而可得出三角形的三邊長，再根據(jù)三角形的周長公式即可得出結(jié)論

解答 解：（1）∵在方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0中，△=b²-4ac=[-（2k+3）]²-4（k²+3k+2）=1＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．

（2）∵x₁+x₂=2k+3，x₁•x₂=k²+3k+2，
∴由（x₁-1）（x₂-1）=5，得
x₁•x₂-（x₁+x₂）+1=5，即k²+3k+2-2k-3+1=5，
整理，得
k²+k-5=0，
解得k=$\frac{-1±\sqrt{21}}{2}$；

（3）∵x²-（2k+3）x+k²+3k+2=（x-k-1）（x-k-2）=0，
∴x₁=k+1，x₂=k+2．
①不妨設(shè)AB=k+1，AC=k+2，
∴斜邊BC=5時，有AB²+AC²=BC²，即（k+1）²+（k+2）²=25，
解得：k₁=2，k₂=-5（舍去）．
∴當(dāng)k=2時，△ABC是直角三角形
②∵AB=k+1，AC=k+2，BC=5，由（1）知AB≠AC，
故有兩種情況：
（Ⅰ）當(dāng)AC=BC=5時，k+2=5，
∴k=3，AB=3+1=4，
∵4、5、5滿足任意兩邊之和大于第三邊，
∴此時△ABC的周長為4+5+5=14；
（II）當(dāng)AB=BC=5時，k+1=5，
∴k=4，AC=k+2=6，
∵6、5、5滿足任意兩邊之和大于第三邊，
∴此時△ABC的周長為6+5+5=16．
綜上可知：當(dāng)k=3時，△ABC是等腰三角形，此時△ABC的周長為14；當(dāng)k=4時，△ABC是等腰三角形，此時△ABC的周長為16．

點評 本題考查了根的判別式、因式分解法解一元二次方程以及等腰三角形的判定，熟練掌握“當(dāng)根的判別式△＞0時，方程有兩個不等實數(shù)根．”是解題的關(guān)鍵．