Question

6．（1）以a，b為直角邊，c為斜邊作兩個(gè)全等的Rt△ABE與Rt△FCD拼成如圖1所示的圖形，使B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)在一條直線上（此時(shí)E，F(xiàn)重合），可知△ABE≌△FCD，AE⊥DF，請(qǐng)你證明：a²+b²=c²；
（2）在（1）中，固定△FCD，再將△ABE沿著BC平移到如圖2的位置（此時(shí)B，F(xiàn)重合），請(qǐng)你重新證明：a²+b²=c²．

Answer 1

分析 （1）連接AD，由四邊形ABCD的面積=△ABE的面積+△FCD的面積+△ADE的面積，得出$\frac{1}{2}$（a+b）²=$\frac{1}{2}$ab×2+$\frac{1}{2}$c²，即可得出結(jié)論；
（2）連接AD、DE，四邊形ABCD的面積=四邊形ABED的面積+△DCE的面積，得出$\frac{1}{2}$（a+b）×a=$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$b（a-b），即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：連接AD，如圖1所示：
則四邊形ABCD是直角梯形，
∴四邊形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$（a+b）（a+b）=$\frac{1}{2}$（a+b）²，
∵四邊形ABCD的面積=△ABE的面積+△FCD的面積+△ADE的面積，
即$\frac{1}{2}$（a+b）²=$\frac{1}{2}$ab×2+$\frac{1}{2}$c²，
化簡(jiǎn)得：（a+b）²=2ab+c²，
∴a²+b²=c²；
（2）證明：連接AD、DE，如圖2所示：
則四邊形ABCD的面積=四邊形ABED的面積+△DCE的面積，
即$\frac{1}{2}$（a+b）×a=$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$b（a-b），
化簡(jiǎn)得：ab+a²=c²+ab-b²，
∴a²+b²=c²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理的證明、四邊形面積的計(jì)算方法、三角形面積的計(jì)算等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，通過作輔助線，運(yùn)用面積法證明勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．