Question

8．已知關(guān)于x的一元二次方程mx²+（m+2）x+$\frac{m}{4}$=0有兩不等根x₁，x₂
（1）求m的取值范圍； 
（2）是否存在$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=0的m的值？說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)判別式的意義得到△=（m+2）²-4m×$\frac{m}{4}$=4m+4＞0，然后解不等式即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-$\frac{m+2}{m}$，x₁x₂=$\frac{1}{4}$，再把$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$變形，然后利用m的取值范圍確定滿足條件的m的值．

解答 解：（1）∵一元二次方程mx²+（m+2）x+$\frac{m}{4}$=0有兩不等根，
∴△=（m+2）²-4m×$\frac{m}{4}$=4m+4＞0，
解得：m＞-1；
（2）∵一元二次方程mx²+（m+2）x+$\frac{m}{4}$=0有兩不等根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-$\frac{m+2}{m}$，x₁x₂=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{4（m+2）}{m}$=0，
∴m=-2，
∵m＞-1，
∴不存在$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=0的m的值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．