Question

16．如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），D（6，4），將線段AD平移到BC，使B（0，b），且a，b滿足|2-a|+$\sqrt{6+b}$=0
（1）求A點(diǎn)、B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)M（-3，n）且三角形ABM的面積為16，求n的值；
（3）若∠DAO=150°，設(shè)點(diǎn)P是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），問(wèn)∠APC與∠PCB存在什么具體的數(shù)量關(guān)系？寫出你的證明結(jié)論并證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng)度，求出直線AB的解析式，然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離即可得到結(jié)果；
（3）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)如圖1，連接PC，延長(zhǎng)BC交x軸于E，②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)如圖2，連接PC，延長(zhǎng)DA交PC于F，根據(jù)平移的性質(zhì)和外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵a，b滿足|2-a|+$\sqrt{6+b}$=0，
∴2-a=0，6+b=0，
∴a=2，b=-6，
∴A（2，0），B（0，-6）；

（2）由（1）得A（2，0），B（0，-6），
∴OA=2，OB=6，
∴AB=$\sqrt{A{O}^{2}+O{B}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵三角形ABM的面積為16，
∴點(diǎn)M到直線AB的距離為：$\frac{8\sqrt{10}}{5}$，
∴直線AB的解析式為：y=3x-6，
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離得：$\frac{|3×（-3）-n-6|}{\sqrt{{3}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$，
解得：n=1或n=-31；

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)如圖1，連接PC，延長(zhǎng)BC交x軸于E，
∵AD平移到BC，
∴AD∥BC，
∵∠DAO=150°，
∴∠DAE=30°，
∵∠AEC=30°，
∴∠PCE=∠APC-30°，
∵∠PCB+∠PCE=∠PCB+∠APC-30°=180°，
∴∠PCB+∠APC=210°；
②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)如圖2，連接PC，延長(zhǎng)DA交PC于F，
∵∠DAO=150°，
∴∠PAF=30°，
∵AD∥BC，
∴∠AFC=∠PCB，
∵∠AFC=∠APC+30°，
∴∠PCB-∠APC=30°；
③當(dāng)p在直線BC與x軸交點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，
∵∠DAO=150°，
∴∠DAP=30°，
∴∠OEC=30°，
∴∠ECP=30°-∠APC，
∴∠BCP=180°-∠ECP=150°+∠APC，
∴∠BCP-∠APC=150°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了坐標(biāo)與圖形的關(guān)系，平移的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理，點(diǎn)到直線的距離公式，正確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵．