Question

1．如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE交AB于F，且∠AED=2∠CED，若BE=1，AB=3，求DF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 取DF的中點(diǎn)G，連接AG，由矩形的性質(zhì)得出∠BAD=∠ABC=∠ABE=90°，AD∥BC，得出∠ADE=∠CED，由勾股定理求出AE，證明∠AEG=∠AGE，得出AG=AE=$\sqrt{10}$，即可求出DF的長(zhǎng)．

解答 解：取DF的中點(diǎn)G，連接AG，如圖所示：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ABE=90°，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
根據(jù)勾股定理得：AE=$\sqrt{B{E}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵G為DF的中點(diǎn)，
∴AG=DG=EG=$\frac{1}{2}$DF，
∴∠ADE=∠GAD，
∴∠AGE=∠GAD+∠ADG=2∠ADG，
∵∠AED=2∠CED，
∴∠AEG=∠AGE，
∴AG=AE=$\sqrt{10}$，
∴DF=2AG=2$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的判定；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．