Question

20．如圖，點(diǎn)A為反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，連接OA，△AOD的面積為$\frac{3}{2}$．
（1）求k的值；
（2）當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1時(shí)，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形AOB，點(diǎn)B在第一象限，求過點(diǎn)B的反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的解析式；
（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)A作AC∥x軸，交反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象于點(diǎn)C，連接BC，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x，y），可表示出△AOD的面積，再結(jié)合xy=k可求得k的值；
（2）由（1）可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，過B作BE⊥AD，交AD于點(diǎn)E，可證明△AOD≌△BAE，可求得BE和AE的長，從而可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，代入可求得反比例函數(shù)解析式；
（3）過B作BF⊥AC于點(diǎn)F，可先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，結(jié)合（2）中B點(diǎn)坐標(biāo)，可分別求得BF和AC的長，可求得△ABC的面積．

解答 解：
（1）設(shè)A（x，y），則OD=x，AD=y，
∴S_△AOD=$\frac{1}{2}$OD•AD=$\frac{1}{2}$xy=$\frac{3}{2}$，
∴k=xy=3；
（2）由（1）可知過A點(diǎn)的反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{3}{x}$，
當(dāng)x=1時(shí)，y=3，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），
∴OD=1，AD=3，
過B作BE⊥AD于點(diǎn)E，如圖1，

∵△AOB為等腰直角三角形，
∴AB=AD，∠OAB=90°，
∴∠OAD+∠EAB=∠EAB+∠ABE=90°，
∴∠OAD=∠ABE，
在△AOD和△BAE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAD=∠ABE}\\{∠ODA=∠AEB}\\{OA=AB}\end{array}\right.$
∴△AOD≌△BAE（AAS），
∴AE=OD=1，BE=AD=3，
∴B（4，2），
∴m=4×2=8，
∴過B點(diǎn)的反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{8}{x}$；
（3）由（2）可知A（1，3），
∴C點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，
又C點(diǎn)在反比例函數(shù)y=$\frac{8}{x}$，
∴C點(diǎn)橫坐標(biāo)為$\frac{8}{3}$，
∴AC=$\frac{8}{3}$-1=$\frac{5}{3}$，
過B作BF⊥AC于點(diǎn)F，如圖2，

∵B（4，2），
∴BF=3-2=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BF=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{3}$×1=$\frac{5}{6}$．

點(diǎn)評 本題主要考查反比例函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及求函數(shù)解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)和圖象的交點(diǎn)等知識點(diǎn)．在（1）中利用好k=xy是解題的關(guān)鍵，在（2）中利用全等三角形的對應(yīng)邊相等求得B點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中求得AC、BF的長是解題的關(guān)鍵．本題所考查知識較為基礎(chǔ)，難度不大．