Question

13．（1）如圖1，等邊三角形ABC與等邊△MDE，點M、N、F分別是AB、AC、BC的中點，點D在直線BC上，猜想DF與EN的數(shù)量關(guān)系．
（2）如圖2，等腰△ABC與等腰△MDEE，MD=ME，CA=CB，∠DME=∠ACB，點M、N、F分別是AB、AC、BC的中點，點D在直線BC上，DF與EN的關(guān)系還成立嗎？并說明理由．
（3）如圖3，等腰直角△ABC與等腰直角△MDE，∠MDE=∠CAB=90°，點M、N、F分別是AB、AC、BC的中點，點D在直線BC上，試探究$\frac{DF}{EN}$的值．
（4）如圖4，任意△ABC與△MDE，∠DME=∠ACB，ME=mDM，BC=mAC，點M、N、F分別是AB、AC、BC的中點，點D在直線BC上，直接寫出$\frac{DF}{EN}$的值．

Answer 1

分析 （1）連接MN、MF、NF，如圖1，易證△MNF是等邊三角形，結(jié)合條件△MDE是等邊三角形，即可證到△DMF≌△EMN，則有DF=EN；
（2）連接MN、MF、NF，如圖2，易證四邊形MNCF是菱形，從而可得∠FMN=∠ACB．由∠DME=∠ACB可得∠DME=∠FMN，從而有∠DMF=∠EMN，進而可證到△DMF≌△EMN，則有DF=EN；
（3）連接MN、MF、NF，如圖3，易證四邊形MNCF是平行四邊形，從而可得∠FMN=∠ACB．由∠DME=∠ACB可得∠DME=∠FMN，從而有∠DMF=∠EMN．易證$\frac{ME}{MD}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{MN}{MF}$，從而可得△DMF∽△EMN，然后運用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題；
（4）連接MN、MF、NF，如圖4，仿照（3）的方法，可證到△DMF∽△EMN，然后運用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題．

解答 解：（1）DF=EN．
理由：連接MN、MF、NF，如圖1，

∵點M、N、F分別是AB、AC、BC的中點，
∴MN=$\frac{1}{2}$BC，MF=$\frac{1}{2}$AC，NF=$\frac{1}{2}$AB．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，
∴MN=MF=NF，
∴△MNF是等邊三角形，
∴∠NMF=60°．
∵△MDE是等邊三角形，
∴MD=ME，∠DME=60°，
∴∠DME=∠FMN，
∴∠DMF=∠EMN．
在△DMF和△EMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{MD=ME}\\{∠DMF=∠EMN}\\{MF=MN}\end{array}\right.$，
∴△DMF≌△EMN，
∴DF=EN；

（2）DF=EN仍然成立．
理由：連接MN、MF、NF，如圖2，

∵點M、N、F分別是AB、AC、BC的中點，
∴MN=$\frac{1}{2}$BC=FC，MF=$\frac{1}{2}$AC=NC，
∵CA=CB，∴MN=MF=FC=NC，
∴四邊形MNCF是菱形，
∴∠FMN=∠ACB．
∵∠DME=∠ACB，
∴∠DME=∠FMN，
∴∠DMF=∠EMN．
在△DMF和△EMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{MD=ME}\\{∠DMF=∠EMN}\\{MF=MN}\end{array}\right.$，
∴△DMF≌△EMN，
∴DF=EN；

（3）連接MN、MF、NF，如圖3，

∵點M、N、F分別是AB、AC、BC的中點，
∴MN=$\frac{1}{2}$BC=FC，MF=$\frac{1}{2}$AC=NC，
∴四邊形MNCF是平行四邊形，
∴∠FMN=∠ACB．
∵△ABC與△MDE都是等腰直角三角形，∠MDE=∠CAB=90°，
∴ME=$\sqrt{2}$MD，BC=$\sqrt{2}$AC，∠DME=45°，∠ACB=45°，
∴$\frac{ME}{MD}$=$\frac{BC}{AC}$，∠DME=∠ACB=∠FMN，
∴$\frac{ME}{MD}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{MN}{MF}$，∠DMF=∠EMN，
∴△DMF∽△EMN，
∴$\frac{DF}{EN}$=$\frac{DM}{EM}$=$\frac{DM}{\sqrt{2}DM}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；

（4）$\frac{DF}{EN}$=$\frac{1}{m}$．
提示：連接MN、MF、NF，如圖4，

仿照（3）的方法，可證到△DMF∽△EMN，
即可得到$\frac{DF}{EN}$=$\frac{DM}{EM}$=$\frac{DM}{m•DM}$=$\frac{1}{m}$．

點評 本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識，綜合性強，運用已有經(jīng)驗解決問題是解決本題的關(guān)鍵．