Question

1．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐標(biāo)系中四點(diǎn)．定義：P、Q分別是兩條線段a和b上任意一點(diǎn)，線段PQ長(zhǎng)度的最小值叫做線段a與線段b的距離．

（1）根據(jù)上述定義，當(dāng)m=2，n=2時(shí)，如圖1，線段BC與線段OA的距離是2；當(dāng)m=5，n=2時(shí)，如圖2，線段BC與線段OA的距離為$\sqrt{5}$；
（2）若點(diǎn)B落在x軸上，線段BC與線段OA的距離記為d，求d關(guān)于m的函數(shù)解析式；
（3）當(dāng)m的值變化時(shí)，動(dòng)線段BC與線段OA的距離始終為2，線段BC的中點(diǎn)為M，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出并求出點(diǎn)M隨線段BC運(yùn)動(dòng)圍成的封閉圖形的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）理解新定義，按照新定義的要求求出兩個(gè)距離值；
（2）如答圖2所示，當(dāng)點(diǎn)B落在⊙A上時(shí)，m的取值范圍為2≤m≤6：
當(dāng)4≤m≤6，顯然線段BC與線段OA的距離等于⊙A半徑，即d=2；
當(dāng)2≤m＜4時(shí)，作BN⊥x軸于點(diǎn)N，線段BC與線段OA的距離等于BN長(zhǎng)；
（3）在準(zhǔn)確理解點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)軌跡的基礎(chǔ)上，畫出草圖，如答圖3所示．由圖形可以直觀求出封閉圖形的周長(zhǎng)．

解答 解：（1）當(dāng)m=2，n=2時(shí)，
如題圖1，線段BC與線段OA的距離（即線段BN的長(zhǎng)）=2；
當(dāng)m=5，n=2時(shí)，
B點(diǎn)坐標(biāo)為（5，2），線段BC與線段OA的距離，即為線段AB的長(zhǎng)，
如答圖1，過點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，則AN=1，BN=2，
在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{A{N}^{2}+B{N}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
故答案為：2，$\sqrt{5}$；

（2）如答圖2所示，當(dāng)點(diǎn)B落在⊙A上時(shí)，m的取值范圍為2≤m≤6：
當(dāng)4≤m≤6，顯然線段BC與線段OA的距離等于⊙A半徑，即d=2；
當(dāng)2≤m＜4時(shí)，作BN⊥x軸于點(diǎn)N，線段BC與線段OA的距離等于BN長(zhǎng)，
ON=m，AN=OA-ON=4-m，在Rt△ABN中，由勾股定理得：
∴d=$\sqrt{{2}^{2}-（4-m）^{2}}$=$\sqrt{-{m}^{2}+8m-12}$．

（3）依題意畫出圖形，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡如答圖3中粗體實(shí)線所示：
由圖可見，封閉圖形由上下兩段長(zhǎng)度為8的線段，以及左右兩側(cè)半徑為2的半圓所組成，
其周長(zhǎng)為：2×8+2×π×2=16+4π，
∴點(diǎn)M隨線段BC運(yùn)動(dòng)所圍成的封閉圖形的周長(zhǎng)為：16+4π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的相關(guān)性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)、勾股定理、解方程等重要知識(shí)點(diǎn)，難度較大．本題涉及動(dòng)線與動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)過程比較復(fù)雜，準(zhǔn)確理解運(yùn)動(dòng)過程是解決本題的關(guān)鍵．第（3）問中，關(guān)鍵是畫出點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)軌跡的圖形，結(jié)合圖形求解一目了然；