Question

8．已知：如圖，AD、BC與⊙O切于A、B，且AD∥BC，若∠COD=90°
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若∠BCD=60°，AB=2$\sqrt{3}$，求線段BC的長．

Answer 1

分析 （1）延長CO與DA的延長線相交于F，過O作OE⊥CD于E，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA⊥AD，OB⊥BC，由AD∥BC，得到A，O，B三點(diǎn)共線，∠F=∠BCO，通過△BCO≌△AFO，得到OC=OF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得到OE=OA，于是得到結(jié)論；
（2）由（1）知，CD是⊙O的切線，根據(jù)切線長定理得到BC=EC，通過△OBC≌△OEC，得到∠BCO=∠ECO=$\frac{1}{2}∠$BCD=30°，解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：延長CO與DA的延長線相交于F，過O作OE⊥CD于E，
∵AD，BC是⊙O的切線，
∴OA⊥AD，OB⊥BC，
∵AD∥BC，
∴A，O，B三點(diǎn)共線，∠F=∠BCO，
在△BCO與△AFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠BCO}\\{∠AOF=∠BOC}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△BCO≌△AFO，
∴OC=OF，
∵∠COD=90°，
∴∠DOF=90°，
∴DF=CD，
∴∠ODA=∠EDO，
∴OE=OA，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：由（1）知，CD是⊙O的切線，
∴BC=EC，
在△OBC與△OEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OE}\\{BC=CE}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△OBC≌△OEC，
∴∠BCO=∠ECO=$\frac{1}{2}∠$BCD=30°，
∵AB=2$\sqrt{3}$，
∴OB=$\sqrt{3}$，
∴BC=$\sqrt{3}$OB=3．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．