Question

3．已知：如圖，等邊三角形△ABC，O為AC邊的中點，將△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜90°）到△A′B′C′的位置，連接AB′，BC′．
（1）求證：AB′=BC′；
（2）當(dāng)α=60°時，直接寫出四邊形AC′BB′為何特殊的四邊形．

Answer 1

分析 （1）連接B'O，BO，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，即可判定△AOB'≌△C'OB（SAS），進而得到AB′=BC′；
（2）連接BB'，AC'，根據(jù)A'B'∥BC，AB′=BC′，即可判定四邊形AC′BB′是平行四邊形，再根據(jù)AB=B'C'，即可得到四邊形AC′BB′是矩形．

解答 解：（1）如圖，連接B'O，BO，
由旋轉(zhuǎn)可得，B'O=BO，AO=A'O，C'O=CO，
∵O為AC邊的中點，
∴AO=C'O，
∵△ABC、△A'B'C'都是等邊三角形，
∴B'O⊥A'C'，BO⊥AC，
∴∠AOB=∠C'OB'，
∴∠AOB'=∠C'OB，
在△AOB'和△C'OB中，
$\left\{\begin{array}{l}{B'O=BO}\\{∠AOB'=∠C'OB}\\{AO=C'O}\end{array}\right.$，
∴△AOB'≌△C'OB（SAS），
∴AB′=BC′；

（2）四邊形AC′BB′是矩形．
理由：如圖，連接BB'，AC'，
當(dāng)α=60°時，∠AOA'=60°=∠A'，
∴∠OAA'=60°，
∵∠C=60°，
∴∠C=∠A'AO，
∴A'B'∥BC，
又∵AB′=BC′，
∴四邊形AC′BB′是平行四邊形，
又∵AB=B'C'，
∴四邊形AC′BB′是矩形．

點評 本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題時注意：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．