Question

11．如圖，已知正比例函數(shù)y=2x和反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象交于A、B兩點，若A點的縱坐標為-2．
（1）求反比例函數(shù)的解析式和點B坐標；
（2）根據(jù)圖象，直接寫出正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時自變量x的取值范圍；
（3）若C是雙曲線上的動點，D是x軸上的動點，是否存在這樣的點C和點D，使以A、B、CD為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出C、D坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把y=-2代入y=2x中求出x的值，確定出A坐標，利用對稱性確定出B坐標，把A點坐標代入反比例解析式求出k的值，即可確定出反比例解析式；
（2）以A，B的橫坐標及0，把x軸分為四個范圍，找出正比例函數(shù)圖象位于反比例函數(shù)圖象上方時x的范圍即可；
（3）存在這樣的點C和點D，使以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，如圖所示，分兩種情況考慮：（i）根據(jù)平移規(guī)律及AC∥BD，AC=BD得：點B先向下平移兩個單位，則A也向下平移兩個單位，得出C的縱坐標，代入反比例解析式求出C橫坐標，確定出C坐標，得到A平移到C的路徑，進而確定出B平移到D的路徑，求出D坐標；（ii）同理得到C′與D′坐標即可．

解答 解：（1）把y=-2代入y=2x得：x=-1，即A（-1，-2），
由對稱性得：B（1，2），
把A（-1，-2）代入反比例解析式得：k=2，
則反比例解析式為y=$\frac{2}{x}$，B（1，2）；
（2）由圖象得：-1＜x＜0或x＞1時，正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值；
（3）存在這樣的點C和點D，使以A、B、CD為頂點的四邊形是平行四邊形，
如圖所示，分兩種情況考慮：
（i）根據(jù)平移規(guī)律及AC∥BD，AC=BD得：點B先向下平移兩個單位，則A也向下平移兩個單位，
∴C縱坐標為為-4，
把y=-4代入反比例解析式得：x=-$\frac{1}{2}$，即C（-$\frac{1}{2}$，-4），即C是由A先向下平移兩個單位，再向左平移$\frac{1}{2}$個單位，
∴D是由B先向下平移兩個單位，再向左平移$\frac{1}{2}$個單位，即D（$\frac{3}{2}$，0）；
（ii）同理C′（$\frac{1}{2}$，4），D′（-$\frac{3}{2}$，0），
綜上，存在這樣的點C和點D，使以A、B、CD為頂點的四邊形是平行四邊形，此時C（-$\frac{1}{2}$，-4）、D（$\frac{3}{2}$，0）或C（$\frac{1}{2}$，4）、D（-$\frac{3}{2}$，0）．

點評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質(zhì)，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標，以及平移的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想，熟練掌握平移的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．