Question

15．如圖，AC是矩形ABCD的對角線，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，現(xiàn)將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG．點F，G分別在邊AD，BC上，連結OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半徑長為1，則下列結論不成立的是（　　）

• A． CD+DF=4
• B． CD-DF=2$\sqrt{3}$-3
• C． BC+AB=2$\sqrt{3}$+4
• D． BC-AB=2

Answer 1

分析 設⊙O與BC的切點為M，連接MO并延長MO交AD于點N，證明△OMG≌△GCD，得到OM=GC=1，CD=GM=BC-BM-GC=BC-2．設AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半徑為r，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓可得r=$\frac{1}{2}$（a+b-c），所以c=a+b-2．在Rt△ABC中，利用勾股定理求得${a}_{1}=1+\sqrt{3}，{a}_{2}=1-\sqrt{3}$（舍去），從而求出a，b的值，所以BC+AB=2$\sqrt{3}$+4．再設DF=x，在Rt△ONF中，F(xiàn)N=$3+\sqrt{3}-1-x$，OF=x，ON=$1+\sqrt{3}-1=\sqrt{3}$，由勾股定理可得$（2+\sqrt{3}-x）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}={x}^{2}$，解得x=4$-\sqrt{3}$，從而得到CD-DF=$\sqrt{3}+1-（4-\sqrt{3}）=2\sqrt{3}-3$，CD+DF=$\sqrt{3}+1+4-\sqrt{3}=5$．即可解答．

解答 解：如圖，

設⊙O與BC的切點為M，連接MO并延長MO交AD于點N，
∵將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG，
∴OG=DG，
∵OG⊥DG，
∴∠MGO+∠DGC=90°，
∵∠MOG+∠MGO=90°，
∴∠MOG=∠DGC，
在△OMG和△GCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OMG=∠DCG=9{0}^{°}}\\{∠MOG=∠DGC}\\{OG=DG}\end{array}\right.$
∴△OMG≌△GCD，
∴OM=GC=1，CD=GM=BC-BM-GC=BC-2．
∵AB=CD，
∴BC-AB=2．
設AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半徑為r，
⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓可得r=$\frac{1}{2}$（a+b-c），
∴c=a+b-2．
在Rt△ABC中，由勾股定理可得a²+b²=（a+b-2）²，
整理得2ab-4a-4b+4=0，
又∵BC-AB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）-4a-4（2+a）+4=0，
解得${a}_{1}=1+\sqrt{3}，{a}_{2}=1-\sqrt{3}$（舍去），
∴$a=1+\sqrt{3}，b=3+\sqrt{3}$，
∴BC+AB=2$\sqrt{3}$+4．
再設DF=x，在Rt△ONF中，F(xiàn)N=$3+\sqrt{3}-1-x$，OF=x，ON=$1+\sqrt{3}-1=\sqrt{3}$，
由勾股定理可得$（2+\sqrt{3}-x）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}={x}^{2}$，
解得x=4$-\sqrt{3}$，
∴CD-DF=$\sqrt{3}+1-（4-\sqrt{3}）=2\sqrt{3}-3$，CD+DF=$\sqrt{3}+1+4-\sqrt{3}=5$．
綜上只有選項A錯誤，
故選A．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，切線的性質，勾股定理，矩形的性質等知識點的綜合應用，解決本題的關鍵是三角形內(nèi)切圓的性質．