Question

20．如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，D為斜邊BC的中點(diǎn)，P為直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線PF∥AB，交直線AD于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)F，且P不與A、C重合，F(xiàn)不與D重合．
（1）如圖a，點(diǎn)P在線段AC上，若AB=AC=5，AP=2，則PE=2，PF=3．
（2）如圖b，若AB≠AC
①若點(diǎn)P仍在線段AC上，請(qǐng)猜想PE、PF、AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
②若點(diǎn)P在線段AC外，請(qǐng)猜想①中的結(jié)論是否還成立？若不成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段PE、PF、AB之間的數(shù)量關(guān)系，不需證明．

Answer 1

分析 （1）由已知條件得到△APE和△PFC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)果；
（2）猜想PE+PF=AB，①如圖1，作FH⊥AB于點(diǎn)H，得到四邊形AHFP為矩形，于是得到AH=PF，AP=HF，由AD為斜邊BC的中點(diǎn)，得到AD=BD=$\frac{1}{2}$BC，∠B=∠BAD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AEP=∠BAD，證得△AEP≌△FBH，于是結(jié)論可得；②不成立，當(dāng)點(diǎn)P在AC延長(zhǎng)線時(shí)，AB=PE-PF，當(dāng)點(diǎn)P在CA延長(zhǎng)線時(shí)，AB=PF-PE．

解答 解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC=5，
∴∠C=45°，
∵PF∥AB，
∴∠FPC=∠BAC=90°，
∴PF=PC，
∵AP=2，
∴PF=PC=3，∵∠EPA=∠BAC=90°，
∵D為斜邊BC的中點(diǎn)，
∴∠EAP=45°，
∴PE=PA=2；

（2）猜想PE+PF=AB，
①如圖1，作FH⊥AB于點(diǎn)H，
∴∠AHF=90°，
∵∠BAC=90°，
 又∵PF∥AB
∴∠APF=∠HAP=90°，
∴四邊形AHFP為矩形，
∴AH=PF，AP=HF，
∵AD為斜邊BC的中點(diǎn)，
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$BC，∴∠B=∠BAD，
∵PF∥AB，
∴∠AEP=∠BAD，
∴∠AEP=∠B，在△AEP與△FBH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠APE=∠BHF}\\{∠AEP=∠B}\\{AP=HF}\end{array}\right.$，
∴△AEP≌△FBH，
∴PE=HB，
∵AB=AH+BH，
∴AB=PE+PF，
②不成立，當(dāng)點(diǎn)P在AC延長(zhǎng)線時(shí)，AB=PE-PF，
如圖2，作FH⊥AB于點(diǎn)H，
∴∠AHF=90°，
∵∠BAC=90°
 又∵PF∥AB
∴∠APF=∠HAP=90°，
∴四邊形AHFP為矩形，
∴AH=PF，AP=HF，
∵AD為斜邊BC的中點(diǎn)，
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$BC，∴∠ABC=∠BAD，
∵PF∥AB，
∴∠AEP=∠BAD，
∴∠AEP=∠B，
在△AEP與△FBH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠APE=∠BHF}\\{∠AEP=∠B}\\{AP=HF}\end{array}\right.$，
∴△AEP≌△FBH，
∴PE=HB，
∴AB=HB-AH=PE-PF；
當(dāng)點(diǎn)P在CA延長(zhǎng)線時(shí)，AB=PF-PE．
如圖3，作FH⊥AB于點(diǎn)H，
∴四邊形AHFP為矩形，
∴FH=AP，
同理△AEP≌△FBH，
∴PE=HB，
∴AB=AH-HB=PF-PE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造矩形是解題的關(guān)鍵．