Question

13．如圖，P是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）圖象上一動(dòng)點(diǎn)，PA⊥x軸于A，PB⊥y軸于B，直線l：y=-x+m（m＞0）交x軸、y軸于C、D，交線段PA、PB于E、F，S_矩形PAOB=8．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求DE•CF的值；
（3）將直線l平移，使l經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，直線l交x軸于G點(diǎn)，交PA于H點(diǎn)，M是GH的中點(diǎn)，連接PM、OM，在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，$\frac{PM}{OM}$的值是否改變？如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)求其值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得∠OCD=∠ODC=45°，根據(jù)平行于y軸的直線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，平行于x軸直線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，可得x_E=x_P，y_F=y_P，根據(jù)勾股定理，可得DE、CF的長(zhǎng)；
（3）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得AM與HM的關(guān)系，根據(jù)SAS，可得△OAM≌△PHM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得PM與OM的關(guān)系．

解答 解：（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），由S_矩形PAOB=xy=8，即k=8，
所以反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{8}{x}$；
（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=m，當(dāng)y=0時(shí)，x=m，即OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=45°，
設(shè)E橫坐標(biāo)為x_E，F(xiàn)縱坐標(biāo)為y_F，
則有x_E=x_P，y_F=y_P，
則DE=$\sqrt{2}$x_E，CF=$\sqrt{2}$y_F，
DE•CF=2x_E•y_F=2x_P•y_P=2×8=16
（3）$\frac{PO}{OM}$=1，證明如下：
如圖2：連接AM．
，
則等腰直角三角形AHG中，AM=HM$\frac{1}{2}$HG，
在△OAM和△PHM中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=PH}\\{∠OAM=∠PHM}\\{AM=HM}\end{array}\right.$，
∴△OAM≌△PHM（SAS），
∴OM=PM，
$\frac{PM}{OM}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)綜合題，（1）利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，（2）利用平行于y軸的直線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，平行于x軸直線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，得出x_E=x_P，y_F=y_P是解題關(guān)鍵；（3）利用直角三角形的性質(zhì)得出AM與HM的關(guān)系，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)．