Question

9．（1）在玩中發(fā)現(xiàn)
圖1所示是三塊完全相同的含30°角的三角板，小慧在平整的桌面上對(duì)這三塊三角板進(jìn)行了如下操作：如圖2，
將其中兩塊三角板的30°角所對(duì)的邊緊貼在一起，將另兩條直角邊擺成一條直線(xiàn)，得到△ABC，將第三塊三角板的30°角的頂點(diǎn)與前兩塊三角板的直角頂點(diǎn)P重疊在一起，PH交AB于點(diǎn)E．PD交AC于點(diǎn)F，連接EF．小慧發(fā)現(xiàn)：當(dāng)EF∥BC時(shí)，△BPE≌△CPF．
請(qǐng)問(wèn)：小慧發(fā)現(xiàn)的結(jié)論成立嗎？為什么？
（2）在交流中猜想：
小慧把她的發(fā)現(xiàn)告訴數(shù)學(xué)興趣小組的其他同學(xué)，他們?cè)谟懻�、交流中猜想：如圖3，在△ABC中，點(diǎn)P是BC邊上的任一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B，C不重合），∠XPY的兩邊PX，PY分別與AB，AC邊交于點(diǎn)E，F(xiàn)，如果∠B=∠C=∠EPF，那么△BPE與△CPF相似．
請(qǐng)問(wèn)：他們的猜想正確嗎？為什么？
（3）在探討中拓展：
數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們把他們的猜想告訴了李老師，李老師鼓勵(lì)了他們的做法，并給了他們新的思考任務(wù)：如圖4，在△ABC中，如果點(diǎn)P在CB邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上，∠XPY的兩邊PX、PY分別與BA、AC邊的廷長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E、F，如果∠ABC=∠ACB=∠EPF，那么，還有三角形會(huì)相似嗎？如果有，請(qǐng)直接寫(xiě)出來(lái)．
請(qǐng)完成李老師所給的思考任務(wù)．

Answer 1

分析 （1）由三塊完全相同的含30°角的三角板得出PB=PC，AB=AC，∠B=∠C=30°，由平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠AEF=∠AFE=30°，證出BE=CF，由SAS證明△BPE≌△CPF即可；（2）由三角形的外角性質(zhì)和已知條件證出∠EPB=∠PFC，再由∠B=∠C，即可證出△BPE∽△CPF；
（3）證出∠EBP=∠FCP，∠BEP=∠CPF，即可得出△BPE∽△CPF．

解答 解：（1）小慧發(fā)現(xiàn)的結(jié)論成立；理由如下：
∵三塊完全相同的含30°角的三角板，
∴PB=PC，AB=AC，∠B=∠C=30°，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠AFE=30°，
∴AE=AF，
∴BE=CF，
在△BPE和△CPF中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}\\{∠B=∠C}\\{PB=PC}\end{array}\right.$，
∴△BPE≌△CPF（SAS）；
（2）他們的猜想正確；理由如下：
∵∠FPB=∠PFC+∠C，∠FPB=∠EPF+∠EPB，∠EPB=∠C，
∴∠EPB=∠PFC，
∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CPF；
（3）△BPE∽△CPF；理由如下：
∵∠EBP=∠BAC+∠ACB，∠FCP=∠BAC+∠ABC，∠ABC=∠ACB，
∴∠EBP=∠FCP，
∵∠ABC=∠BEP+∠BPE，∠EPF=∠BPE+∠CPF，∠ABC=∠EPF，
∴∠BEP=∠CPF，
∴△BPE∽△CPF．

點(diǎn)評(píng) 本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定、等腰三角形的判定、平行線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形相似和三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．