Question

4．如圖，長方形ABCD中，AD=10，AB=6，動點P從A點出發(fā)以每秒1 個單位的速度向點D運動．動點Q從點B出發(fā)以每秒2個單位的速度在折線B-C-D上向終點D運動．P、Q同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，另一點也隨即停止運動．

（1）當t=7秒時，DQ=2；
（2）在運動的過程中，是否存在t的值，使△DPQ為等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；
（3）取CD中點E，D關(guān)于PE的對稱點D′恰好落在PQ上，直接寫出t=$\frac{15-\sqrt{43}}{2}$（結(jié)果保留根號）

Answer 1

分析 （1）動點Q從點B出發(fā)以每秒2個單位的速度在折線B-C-D上向終點D運動，AD=10，AB=6，得BC+CD=16，BC+CP=14，易得PD=2；
（2）題中沒有指明Q在哪個邊上為等腰三角形，故分別討論在BC邊和CD邊上，在BC邊分三種情況進行分析，分別是DP=DQ，DP=PQ，PQ=DQ．從而求得所需的時間，在CD邊只一種情況；
（3）連接EQ，由對稱的性質(zhì)得PD=PD′，DE=D′E=EC，易得△D′EQ≌△CEQ，由全等三角形的性質(zhì)得D′Q=CQ，易得PQ=PD+CQ，求得t．

解答 解：（1）如圖1，∵動點Q從點B出發(fā)以每秒2個單位的速度在折線B-C-D上向終點D運動，
∴0≤t≤8，
∵BC+CD=16，
∴當t=7秒時，BC+CP=14，
∴PD=2，
故答案為：2；

（2）當Q在BC上時，0≤t≤5，
�。┊擯Q=DQ時，即PQ²=DQ²，
PQ²=6²+（2t-t）²，DQ²=6²+（10-2t）²，
∴t²=（10-2t）²
解得：t=$\frac{10}{3}$或t=10（不合題意，舍去），
∴t=$\frac{10}{3}$；
ⅱ）當PQ=PD時，6²+t²=（10-t）²，
解得：t=3.2；
ⅲ）當DP=DQ時，6²+（10-2t）²=（10-t）²，
△＜0，無解．
當Q在CD上時，則只有DP=DQ，16-2t=10-t，t=6；
綜上所述，當t=$\frac{10}{3}$，3.2或6時，△DPQ是等腰三角形；

（3）如圖2，連接EQ，
由對稱的性質(zhì)得PD=PD′，DE=D′E，∠ED′Q=90°，
∵E為CD的中點，
∴D′E=EC，
在Rt△D′EQ與Rt△CEQ中
$\left\{\begin{array}{l}{D′E=EC}\\{EQ=EQ}\end{array}\right.$，
∴△D′EQ≌△CEQ，
∴D′Q=CQ，
∴PQ=PD+CQ，
∴6²+t²=[（10-t）+（10-2t）]²，
解得：t=$\frac{15-\sqrt{43}}{2}$或t=$\frac{15+\sqrt{43}}{2}$，
當Q在BC上時，0≤t≤5，
∴t=$\frac{15-\sqrt{43}}{2}$，
故答案為：t=$\frac{15-\sqrt{43}}{2}$．

點評 本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，對稱的性質(zhì)等，運用分類討論思想是解答此題的關(guān)鍵．