Question

17．正方形ABCD的面積為（2-$\sqrt{3}$）cm²，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則線段AP，BP，DP之和的最小值為1cm．

Answer 1

分析 將△APD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AFE，連接BE交AC于點(diǎn)G，連接PF、DE，則△APF、△ADE是等邊三角形，從而得出PA+PB+PD=PF+PB+EF，進(jìn)而得出∠BAE=∠BAD+∠DAE=150°，得出∠ABE=∠AEB=15°，即可求得∠AQE=∠BAC+∠ABE=60°，證得PF∥BE，設(shè)直線AF交BE于點(diǎn)G，則△AQG是等邊三角形，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到Q處時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到G處，此時(shí)折線B-P-F-E變成線段BE，此時(shí)PA+PB+PD取得最小值BE，設(shè)正方形的面積為a²=2-$\sqrt{3}$，則EH=$\frac{a}{2}$，AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，根據(jù)勾股定理得出BE²=BH²+EH²=（a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a）²+（$\frac{a}{2}$）²=（2+$\sqrt{3}$）a²=（2+$\sqrt{3}$）（2-$\sqrt{3}$）=1，即可求得PA+PB+PD的最小值為1．

解答 解：如圖所示：將△APD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AFE，連接BE交AC于點(diǎn)G，連接PF、DE，則△APF、△ADE是等邊三角形，
∴PA+PB+PD=PF+PB+EF，
∵AB=AD=AE，∠BAE=∠BAD+∠DAE=150°，
∴∠ABE=∠AEB=15°，
∴∠AQE=∠BAC+∠ABE=60°，
∴PF∥BE，
設(shè)直線AF交BE于點(diǎn)G，則△AQG是等邊三角形，
∴當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到Q處時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到G處，此時(shí)折線B-P-F-E變成線段BE，
∴PA+PB+PD=PF+PB+EF≥BE，
即P運(yùn)動(dòng)到Q處PA+PB+PD取得最小值BE，
設(shè)正方形的面積為a²=2-$\sqrt{3}$，則EH=$\frac{a}{2}$，AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴BE²=BH²+EH²=（a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a）²+（$\frac{a}{2}$）²=（2+$\sqrt{3}$）a²=（2+$\sqrt{3}$）（2-$\sqrt{3}$）=1，
∴PA+PB+PD的最小值為1．
故答案為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，軸對(duì)稱-最短路線問題，兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．