Question

3．如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，點E、F、G、H在以點O為圓心的同一個圓上嗎？為什么？

Answer 1

分析 首先利用三角形的中位線定理證得四邊形EFGH為平行四邊形，然后利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形判定即可，則對角互補的四邊形四點共圓．

解答 解：E、F、G、H四個點在同一的圓上
理由：如圖，順次連接點E、F、G、H．
∵點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AC，GH$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AC，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$GH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；
又∵對角線AC、BD互相垂直，
∴∠1=90°，
∵EF∥AC，
∴∠2=90°，
∵EH∥BD，
∴∠FEH=90°，
∴EF與FG垂直．
∴四邊形EFGH是矩形．
∴∠FEH=∠FGH=90°，
∴∠FEH+∠FGH=180°，
∴E、F、G、H四個點在同一的圓上．

點評 本題考查了中點四邊形的知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用三角形的中位線定理，平行四邊形的判斷及矩形的判斷進行證明，是一道綜合題．