Question

2．圖1是以AB為直徑的半圓形紙片，AB=4cm，沿著垂直于AB的半徑OC剪開，將扇形OAC沿AB方向平移至扇形O′A′C′，OC交弧A′C′于點D，O′C′交弧BC于點E，設AA′=x；
（1）如圖2，當O′是OB的中點時，寫出陰影部分的面積S=2cm²；弧BE的長為$\frac{2π}{3}$cm；
（2）探究：
①連接DE，當x為何值時，四邊形DOO′E是正方形，并證明你的結論；
②當x=1時，四邊形DOO′E的面積等于$\sqrt{3}$cm²；
③設弧BC與弧A′C′相交于點F，連接OF，是否存在這樣的x，使OF與弧A′C′相切？若存在，直接寫出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知求得半徑，圓心角，根據(jù)扇形的面積、弧長的公式，求得結果；
（2）①由四邊形DOO′E是正方形，得到四邊形的四條邊相等，得到等腰直角三角形，由勾股定理求得結果；
②根據(jù)矩形的面積公式和勾股定理列方程組求解；
③根據(jù)切線的性質和等圓的半徑相等，得到等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．

解答 解：（1）如圖1連接OE，
∵OB=$\frac{1}{2}$AB=4 OO′=$\frac{1}{2}$OB′=$\frac{1}{2}$OE，
∴∠OBO′=30°，
∴∠EOO′=60°，
∴$\widehat{BE}$=$\frac{60•π•2}{180}$=$\frac{2π}{3}$cm，
S_陰影=S_扇形OAC+S_{矩形COO′C′}-S_{扇形O′A′E}=S_矩形=2×1=2，
故答案為；2，$\frac{2π}{3}$；

 （2）如圖2①x=$\sqrt{2}$時，四邊形DOO′E是正方形，
連接OE，∵OE=DO′=2，∠DOO′=∠EO′O=90°，
∴OD=EO′，
∵DO∥EO′，
∴四邊形DOO′E是矩形，
當OO′=OD時，矩形DOO′E是正方形，
∴OO′=AA′=$\sqrt{2}$，
∴當x=$\sqrt{2}$時，四邊形DOO′E是正方形，
②x=1時，四邊形DOO′E的面積等于$\sqrt{3}$cm^2，
設OO′=m，O′E=n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{mn=\sqrt{3}}\\{{m}^{2}{+n}^{2}=4}\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=\sqrt{3}}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴OO′=AA′=1或$\sqrt{3}$，故答案：1或$\sqrt{3}$；
③存在，
如圖3，連接O′F，
∵OF與⊙O′相切，
∴∠OFO′=90°，
∵OF=O′F=2，
∴OO′=2$\sqrt{2}$，
∴AA′=2$\sqrt{2}$，
∴當x=2$\sqrt{2}$時，OFF與⊙O′相切．

點評 本題主要考查了求陰影部分的面積，圓弧的長度，扇形的面積，正方形和矩形的性質，切線的性質，勾股定理等知識點．