Question

16．如圖，已知在等邊△ABC中，AD，CF分別為邊CB，BA上的中線，以AD為邊作等邊△ADE．求證：
（1）四邊形CDEF是平行四邊形；
（2）EF平分∠AED．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質證出DE=CF，DE∥CF，即可得出結論；
（2）由平行四邊形的性質和等邊三角形的性質證出∠AEF=30°=∠DEF即可．

解答 證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，AD，CF分別為邊CB，BA上的中線，
∴AD=CF，AD⊥BC，∠BCF=30°，
∵△ADE是等邊三角形，
∴DE=AD，∠ADE=60°，
∴∠BDE=90°-60°=30°=∠BCF，
∴DE=CF，DE∥CF，
∴四邊形CDEF是平行四邊形；

（2）∵四邊形CDEF是平行四邊形，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠BCF=30°，
∵△ADE是等邊三角形，
∴∠AED=60°，
∴∠AEF=30°=∠DEF，
∴EF平分∠AED．

點評 此題考查了平行四邊形的判定與性質、等邊三角形的性質．熟練掌握等邊三角形的性質，證明四邊形是平行四邊形是解決問題的關鍵．