Question

20．如圖，拋物線y=ax²+bx-3經(jīng)過A（-1，0）B（4，0）兩點，與y軸交于點C
（1）求拋物線解析式；
（2）點N是x軸下方拋物線上的一點，連接AN，若tan∠BAN=2，求點N的縱坐標(biāo)；
（3）點D是點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，連接AD，在x軸上是否存在E，使∠AED=∠CAD？如果存在，請直接寫出點E坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由；
（4）連接AC、BC，△ABC的中線BM交y軸于點H，過點A作AG⊥BC，垂足為G，點F是線段BH上的一個動點（不與B、H重合），點F沿線段BH從點B向H移動，移動后的點記作點F′，連接F′C、F′A，△F′AC的F′C、F′A兩邊上的高交于點P，連接AP，CP，△F′AC與△PAC的面積分別記為S₁，S₂，S₁和S₂的乘積記為m，在點F的移動過程中，探究m的值變化情況，若變化，請直接寫出m的變化范圍，若不變，直接寫出這個m值．

Answer 1

分析 （1）將點A和點B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于a、b的方程組，然后求得a、b的值即可；
（2）過點N作NM⊥x軸點M，則∠AMN=90°．設(shè)點N的坐標(biāo)為（x，$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x-3），則AM=x+1，MN=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3，然后依據(jù)tan∠BAN=2，列方程求解即可；
（3）連接CD，過點C作CG⊥AD，垂足為G，過點D作DF⊥x軸，垂足為F．先求得AC，AD的長，依據(jù)S_△ACD=$\frac{1}{2}$CD•OC=$\frac{1}{2}$AD•CG，可求得CG的長，然后依據(jù)勾股定理可求得AG的長，從而可得到tan∠AED=$\frac{DF}{EF}$=$\frac{DF}{E′F}$=$\frac{9}{13}$，從而可求得EF和E′F的長，然后求得點E和點E′的坐標(biāo)即可；
（4）先證明AB=BC，由等腰三角形的性質(zhì)可知MB為AC的垂直平分線，然后再證明△CMP∽△F′MC，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得MP•MF′=$\frac{5}{2}$，最后由m=S₁•S₂=$\frac{1}{2}$AC•PM•$\frac{1}{2}$AC•MF′求解即可．

解答 解：（1）將點A和點B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{16a+4b-3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x-3．

（2）如圖1所示：過點N作NM⊥x軸點M，則∠AMN=90°．

設(shè)點N的坐標(biāo)為（x，$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x-3），則AM=x+1，MN=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3．
∵tan∠BAN=2，
∴$\frac{-\frac{3}{4}{x}^{2}+\frac{9}{4}x+3}{x+1}$=2，解得：x=$\frac{4}{3}$或x=-1（舍去）．
∴MN=2AM=3×（$\frac{4}{3}$+1）=$\frac{14}{3}$，
∴點N的坐標(biāo)為（$\frac{4}{3}$，-$\frac{14}{3}$）．
（3）如圖2所示：連接CD，過點C作CG⊥AD，垂足為G，過點D作DF⊥x軸，垂足為F．

∵點C與點D關(guān)于對稱軸直線x=$\frac{3}{2}$對稱，
∴D（3，-3）．
∴DF=3，CD=3．
依據(jù)兩點間的距離公式可知AD=5，AC=$\sqrt{10}$．
∵S_△ACD=$\frac{1}{2}$CD•OC=$\frac{1}{2}$AD•CG，
∴CG=$\frac{9}{5}$．
∴AG=$\sqrt{A{C}^{2}-C{G}^{2}}$=$\frac{13}{5}$．
∴tan∠CAD=$\frac{9}{13}$．
∵∠AED=∠CAD，
∴tan∠AED=$\frac{DF}{EF}$=$\frac{DF}{E′F}$=$\frac{9}{13}$，即$\frac{3}{E′F}$=$\frac{3}{EF}$=$\frac{9}{13}$，解得EF=EF′=$\frac{13}{3}$．
∴E（-$\frac{4}{3}$，0），E′（$\frac{22}{3}$，0）．
∴點E的坐標(biāo)為（-$\frac{4}{3}$，0）或（$\frac{22}{3}$，0）．
（4）如圖3所示：

∵A（-1，0），（4，0），C（0，-3），
∴AB=BC=5，AC=$\sqrt{10}$．
∵M(jìn)B為△ABC的中線，
∴MB⊥AC，MC=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
∴MB為AC的垂直平分線，
∴∠AF′M=∠CF′M．
∵點P為AF′與CF′的高線的交點，
∴∠CAQ+∠ACQ=90°，∠CAQ+∠MF′A=90°，
∴∠ACQ=∠AF′M．
∴∠ACQ=∠CF′M．
又∵∠CMP=∠CMF′，
∴△CMP∽△F′MC．
∴$\frac{MP}{MC}$=$\frac{MC}{F′M}$，即MP•MF′=$\frac{5}{2}$．
∴m=S₁•S₂=$\frac{1}{2}$AC•PM•$\frac{1}{2}$AC•MF′=$\frac{1}{4}$×（$\sqrt{10}$）²×$\frac{5}{2}$=$\frac{25}{4}$．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，銳角三角函數(shù)的定義、三角形的面積、等腰三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定，求得tan∠AED的值是解答問題（3）的關(guān)鍵；求得MP•MF′=$\frac{5}{2}$是解答問題（4）的關(guān)鍵．