Question

12．如圖，在△ACB中，∠C=90°，AB=2BC，點O在邊AB上，且BO=$\frac{1}{3}$AB，以O(shè)為圓心，OB長為半徑的圓分別交AB，BC于D，E兩點．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）判斷由D，O，E及切點所構(gòu)成的四邊形的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）作OF⊥AC于F，如圖，理由三角函數(shù)可得到∠A=30°，則OA=2OF，再利用BO=$\frac{1}{3}$AB得到OA=2OB，所以O(shè)F=OB，于是根據(jù)切線的判定方法可判定AC是⊙O的切線；
（2）先證明△OFD和△OBE都是等邊三角形得到OD=DF，∠BOE=60°，則可計算出∠EOF=60°，從而可判定△OEF為等邊三角形，所以EF=OE，則有OD=DF=EF=OE，然后根據(jù)菱形的判定方法可判斷四邊形ODFE為菱形．

解答 （1）證明：作OF⊥AC于F，如圖，
∵∠C=90°，AB=2BC，
∴sinA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠A=30°，
∴OA=2OF，
∵BO=$\frac{1}{3}$AB，
∴OA=2OB，
∴OF=OB，
∴AC是⊙O的切線；

（2）四邊形ODFE為菱形．理由如下：
∵∠A=30°，
∴∠AOF=∠B=60°，
∴△OFD和△OBE都是等邊三角形，
∴OD=DF，∠BOE=60°，
∴∠EOF=180°-60°-60°=60°，
∴△OEF為等邊三角形，
∴EF=OE，
∴OD=DF=EF=OE，
∴四邊形ODFE為菱形．

點評 本題考查了切線的判定與性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和菱形的判定方法．