Question

7．如圖，在△ABC中，
①若BE、CD分別是三角形的角平分線，∠A=n°，則∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$n°；
②若BE、CD分別是三角形的高，∠A=n°，則∠BOC=180°-n°；
③若BE、CD分別是三角形的中線，S_△BOD=1，則S_△COE=1．

Answer 1

分析 ①先利用角平分線的定義得到∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，則∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），再利用三角形內(nèi)角和得到∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（180°-n°），則∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可用n°表示出∠BOC；
②利用高的定義得到∠ADC=∠AEB=90°，則根據(jù)四邊形的內(nèi)角和∠DOE=180°-n°，然后利用對頂角相等得到∠BOC的度數(shù)；
③利用三角形的中線定義得到AD=BD，AE=CE，則根據(jù)三角形的面積公式得到S_△BCD=$\frac{1}{2}$S_△ABC，S_△BCE=$\frac{1}{2}$S_△ABC，則S_△BCD=S_△BCE，從而得到S_△BOD=S_△COE=1．

解答 解：①∵BE、CD分別是三角形的角平分線，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（180°-n°），
∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，
∴∠BOC=180°-$\frac{1}{2}$（180°-n°）=90°+$\frac{1}{2}$n°；
②∵BE、CD分別是三角形的高，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠DOE=180°-∠A=180°-n°，
∴∠BOC=∠DOE=180°-n°；
③∵BE、CD分別是三角形的中線，
∴AD=BD，AE=CE，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$S_△ABC，S_△BCE=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴S_△BCD=S_△BCE，
∴S_△BOD=S_△COE=1．
故答案為90°+$\frac{1}{2}$n°；180°-n°；1．

點評 本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．也考查了三角形的三線（高、角平分線、中線）和三角形面積公式．