Question

14．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，點(diǎn)M、N分別在AB、AD邊上．若AM：MB=AN：ND=1：2，則tan∠MCN=$\frac{3\sqrt{3}}{13}$．

Answer 1

分析 連接AC，通過三角形全等，求得∠BAC=30°，從而求得BC的長，然后根據(jù)勾股定理求得CM的長，連接MN，過M點(diǎn)作ME⊥CN于E，則△MNA是等邊三角形求得MN=2，設(shè)NE=x，表示出CE，根據(jù)勾股定理即可求得ME，然后求得tan∠MCN．

解答 解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，
∴AM=AN=2，BM=DN=4，
連接MN，連接AC，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°
在Rt△ABC與Rt△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴∠BAC=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=30°，MC=NC，
∴BC=$\frac{1}{2}$AC，
∴AC²=BC²+AB²，即（2BC）²=BC²+AB²，
3BC²=AB²，
∴BC=2$\sqrt{3}$，
在Rt△BMC中，CM=$\sqrt{B{M}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}=2\sqrt{7}$．
∵AN=AM，∠MAN=60°，
∴△MAN是等邊三角形，
∴MN=AM=AN=2，
過M點(diǎn)作ME⊥CN于E，設(shè)NE=x，則CE=2$\sqrt{7}$-x，
∴MN²-NE²=MC²-EC²，即4-x²=（2$\sqrt{7}$）²-（2$\sqrt{7}$-x）²，
解得：x=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴EC=2$\sqrt{7}$-$\frac{\sqrt{7}}{7}$=$\frac{13\sqrt{7}}{7}$，
∴ME=$\sqrt{M{N}^{2}-N{E}^{2}}=\frac{3\sqrt{21}}{7}$，
∴tan∠MCN=$\frac{ME}{EC}=\frac{3\sqrt{3}}{13}$，
故答案為：$\frac{3\sqrt{3}}{13}$

點(diǎn)評 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及解直角三角函數(shù)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．