Question

19．如圖，四邊形ABCD是長方形，點P是長方形內(nèi)的任意一點，求證：PA²+PC²=PB²+PD²．

Answer 1

分析 過點P作AD的垂線，交AD于點E，交BC于點F；則四邊形ABFE和CDEF為矩形，得出AE=BF，DE=CF，由勾股定理得出PA²，PC²，PB²，PD²，再比較PA²+PC²與PB²+PD²即可．

解答 證明：過點P作AD的垂線，交AD于點E，交BC于點F，如圖所示：
則四邊形ABFE和CDEF為矩形，
∴AE=BF，DE=CF，
由勾股定理得：
AP²=AE²+PE²，PC²=PF²+CF²，
BP²=BF²+PF²，PD²=DE²+PE²，
∴PA²+PC²=AE²+PE²+PF²+CF²，
PB²+PD²=BF²+PF²+DE²+PE²，
∴PA²+PC²=PB²+PD²．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)與判定、勾股定理的運用；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．