Question

10．如圖，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，連接BD，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，速度均為1個(gè)單位/秒．當(dāng)其P點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q隨即停止．過點(diǎn)Q作BD的垂線交折線B-C-D于點(diǎn)E，射線PQ交折線B-C-D于點(diǎn)F．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，用含t的代數(shù)式表示BE的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)t=2時(shí)，求線段BF的長(zhǎng)；
（3）若以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)Q的長(zhǎng)度為半徑的⊙F經(jīng)過點(diǎn)E時(shí)，求t的值；
（4）作線段EF關(guān)于BD的軸對(duì)稱變換得到線段E′F′，當(dāng)四邊形EFF′E′為矩形時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意證明△BQE∽△BCD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到成比例線段，代入已知數(shù)據(jù)求值即可；
（2）t=2時(shí)，求出BQ、QD的值，根據(jù)△PQD∽△FQB得到成比例線段，代入求值即可；
（3）從點(diǎn)F、E都在BC上、點(diǎn)F、E都在CD上和點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在CD上三種情況根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行分析解答；
（4）根據(jù)當(dāng)EF∥BD時(shí)，四邊形EFF′E′為矩形解答即可．

解答 解：（1）∵在矩形ABCD中，CD=AB=3，BC=4，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=5，
∵QE⊥BD，
∴∠BQE=∠C=90°，
又∵∠QBE=∠CBD，
∴△BQE∽△BCD，
∴$\frac{BE}{BD}$=$\frac{BQ}{BC}$，即 $\frac{BE}{5}$=$\frac{t}{4}$，
∴BE=$\frac{5}{4}$t；
（2）當(dāng)t=2秒，BQ=PD=2，QD=3，
由△PQD∽△FQB，得：$\frac{BF}{2}$=$\frac{2}{3}$，
∴BF=$\frac{4}{3}$；
（3）①點(diǎn)F、E都在BC上時(shí)，若FQ=EF，則易證FE=BF，
即BE=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{4}$t=$\frac{5}{8}$t，
由△PQD∽△FQB，得：$\frac{PD}{BF}$=$\frac{QD}{QB}$，
即$\frac{t}{\frac{5}{8}t}$=$\frac{5-t}{t}$，
解得，t=$\frac{25}{13}$
②點(diǎn)F、E都在CD上時(shí)，同理可得FE=FD，
如圖1，過點(diǎn)P作PG∥AB交BD于G，
由△QDF∽△QPG得：$\frac{DF}{PG}$=$\frac{QD}{QG}$，
即$\frac{\frac{5}{6}（5-t）}{\frac{3}{4}t}$=，
解得，t=$\frac{100}{27}$，
當(dāng)點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在CD上時(shí)，顯然FQ＞FE；
綜上所述，當(dāng)⊙F經(jīng)過點(diǎn)E時(shí)，t=$\frac{25}{13}$或t=$\frac{100}{27}$；
（4）如圖2，當(dāng)EF∥BD時(shí)，四邊形EFF′E′為矩形，
$\frac{PD}{MB}$=$\frac{DQ}{BQ}$，即MB=$\frac{{t}^{2}}{5-t}$，
$\frac{CM}{PD}=\frac{CF}{DF}=\frac{CE}{BE}$，
即$\frac{4-\frac{{t}^{2}}{5-t}}{t}=\frac{4-\frac{5}{4}t}{\frac{5}{4}t}$，
解得，t=$\frac{180}{61}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，正確運(yùn)用分情況討論思想和數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵，注意運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)解決問題．