Question

18．如圖，已知等邊△ABC，以AB為直徑的圓與BC邊交于點D，過點D作DF⊥AC，垂足為F，過點F作FG⊥AB，垂足為G，連結GD．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若AB=12，求FG的長；
（3）在（2）問條件下，求點D到FG的距離．

Answer 1

分析 （1）連接OD，證∠ODF=90°即可．
（2）利用△CDF是30°的直角三角形可求得CF長，同理可利用△FGA中的60°的三角函數(shù)值可求得FG長．
（3）過D作DH⊥AB于H．利用△BDH是30°的直角三角形可求得BH長，同理可求得AG，然后根據(jù)GH=AB-AG-BH求得即可．

解答 （1）證明：連結OD，如圖1，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠C=∠A=∠B=60°．
而OD=OB，
∴△ODB是等邊三角形，∠ODB=60°，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切線．
（2）解：∵OD∥AC，點O為AB的中點，
∴OD為△ABC的中位線．
∴BD=CD=6．
在Rt△CDF中，∠C=60°，
∴∠CDF=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=3．
∴AF=AC-CF=12-3=9，
在Rt△AFG中，∵∠A=60°，
∴FG=AF×sinA=9×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．
（3）解：如圖2，過D作DH⊥AB于H．
∵FG⊥AB，DH⊥AB，
∴FG∥DH，
在Rt△BDH中，∠B=60°，
∴∠BDH=30°，
∴BH=$\frac{1}{2}$BD=3，DH=$\sqrt{3}$BH=3$\sqrt{3}$．
在Rt△AFG中，∵∠AFG=30°，
∴AG=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{9}{2}$，
∵GH=AB-AG-BH=12-$\frac{9}{2}$-3=$\frac{9}{2}$，F(xiàn)G⊥AB，
∴點D到FG的距離是$\frac{9}{2}$．

點評 本題主要考查了切線的判定與性質，等邊三角形的性質，30°的直角三角形的性質，解直角三角形等知識．判斷直線和圓的位置關系，一般要猜想是相切，再證直線和半徑的夾角為90°即可．注意利用特殊的三角形和三角函數(shù)來求得相應的線段長．