Question

5．為迎接國際動(dòng)漫節(jié)，某商家計(jì)劃從廠家采購A，B兩種類型的cosplay服裝共20件，衣服的采購單價(jià)（元/件）是采購數(shù)量（件）的一次函數(shù)，下表提供了部分采購數(shù)據(jù)．

采購數(shù)量（件）	1	2	…
A產(chǎn)品單價(jià)（元/件）	250	230	…
B產(chǎn)品單價(jià)（元/件）	130	120	…

（1）設(shè)A產(chǎn)品的采購數(shù)量為x（件），采購單價(jià)為y₁（元/件），求y₁與x的關(guān)系式；
（2）經(jīng)商家與廠家協(xié)商，采購A產(chǎn)品的數(shù)量不少于B產(chǎn)品數(shù)量的$\frac{1}{3}$，且A產(chǎn)品采購單價(jià)不低于100元，求該商家共有幾種進(jìn)貨方案；
（3）該商家分別以300元/件和150元/件的銷售單價(jià)售出A，B兩種產(chǎn)品，且全部售完，在（2）的條件下，求采購A種產(chǎn)品多少件時(shí)總利潤最大，并求最大利潤．

Answer 1

分析 （1）設(shè)y₁與x的關(guān)系式y(tǒng)₁=kx+b，利用待定系數(shù)法，求出k和b的值，函數(shù)關(guān)系式即可求出；
（2）首先根據(jù)題意列出不等式組，求出x的取值范圍，結(jié)合x為整數(shù)，即可判斷出商家的幾種進(jìn)貨方案；
（3）分別計(jì)算出兩種方案的利潤，即可解答．

解答 解：（1）y₁與x的關(guān)系式y(tǒng)₁=kx+b，
把（1，250），（2，230）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=250}\\{2k+b=230}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-20}\\{b=270}\end{array}\right.$
∴y₁=-20x+270．
（2）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{3}（20-x）}\\{-20x+270≥100}\end{array}\right.$
解得5≤x≤8.5，
又∵A、B產(chǎn)品得單價(jià)要大于零，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-20x+270＞0}\\{-10（20-x）+140＞0}\end{array}\right.$
解得：6＜x＜13.5，
綜合得6＜x≤8.5，
答：有兩種進(jìn)貨方案：A產(chǎn)品7件，B產(chǎn)品13件或者A產(chǎn)品8件，B產(chǎn)品12件．
（3）當(dāng)x=7時(shí)，總利潤=7×（300-130）+13×（150-10）=3010，
當(dāng)x=8時(shí)，總利潤=8×（300-110）+12×（150-20）=3080
當(dāng)x=8時(shí)，利潤最大，最大利潤為3080元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元一次不等式組及一次函數(shù)的應(yīng)用，將現(xiàn)實(shí)生活中的事件與數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來，讀懂題列出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．