Question

17．某天早晨，張強(qiáng)從家跑步去體育場鍛煉，同時(shí)媽媽從體育場晨練結(jié)束回家，途中兩人相遇，張強(qiáng)跑到體育場后發(fā)現(xiàn)要下雨，立即按原路返回，遇到媽媽后兩人一起按他返回時(shí)的速度回到家（張強(qiáng)和媽媽始終在同一條筆直的公路上）．設(shè)兩人離家的距離為y（米），張強(qiáng)出發(fā)的時(shí)間為x（分），y與x之間的函數(shù)圖象如圖所示．
（1）求張強(qiáng)返回時(shí)的速度；
（2）媽媽比按原速返回提前多少分鐘到家？
（3）請直接寫出張強(qiáng)與媽媽何時(shí)相距100米．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)速度=路程÷時(shí)間，即可求出張強(qiáng)返回時(shí)的速度；
（2）根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線AC所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，將x=45代入其內(nèi)可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)D和點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線BD所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，將y=0代入其內(nèi)可求出x的值，用其減去50即可得出結(jié)論．
（3）先求出直線OA所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，分0＜x≤30和30＜x＜45兩種情況考慮，根據(jù)兩函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)值之差為100，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）3000÷（50-30）=150（米/分）．
答：張強(qiáng)返回時(shí)的速度為150米/分．
（2）設(shè)直線AC所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=-150x+b，
將點(diǎn)（30，3000）代入，得：-150×30+b=3000，
解得：b=7500，
∴直線AC所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=-150x+7500．
當(dāng)x=45時(shí)，y=-150×45+7500=750，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（45，750）．
設(shè)直線BD所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=mx+n（m≠0），
將點(diǎn)（0，3000）、（45，750）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{n=3000}\\{45m+n=750}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-50}\\{n=3000}\end{array}\right.$，
∴直線BD所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=-50x+3000．
當(dāng)y=-50x+3000=0時(shí)，x=60，
60-50=10（分鐘）．
答：媽媽比按原速返回提前10分鐘到家．
（3）張強(qiáng)去體育場的速度為3000÷30=100（米/分），
∴直線OA所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=100x．
當(dāng)0＜x≤30時(shí)，∵張強(qiáng)與媽媽相距100米，
∴|-50x+3000-100x|=100，
解得：x₁=$\frac{58}{3}$，x₂=$\frac{62}{3}$；
當(dāng)30＜x＜45時(shí)，∵張強(qiáng)與媽媽相距100米，
∴-150x+7500-（-50x+3000）=100，
解得：x=44．
綜上所述：當(dāng)x=$\frac{58}{3}$或$\frac{62}{3}$或44時(shí)，張強(qiáng)與媽媽相距100米．

點(diǎn)評 本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)速度=路程÷時(shí)間，求出張強(qiáng)返回時(shí)的速度；（2）利用待定系數(shù)法分別求出直線AC、BD所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（3）分0＜x≤30和30＜x＜45兩種情況，找出關(guān)于x的一元一次方程．